Desafio de matemática, carro A e carro B

Boa tarde, meus amigos, novamente desculpe o incômodo. Eu estou com uma tremenda pulga atrás da orelha em relação a um desafio proposto no livro "Matemática - Contexto e Aplicações", do Dante. 

Pois bem, no desafio ele diz o seguinte: 

Em uma prova de Fórmula 1, o tempo de volta do carro A é de 1min 20s, e o carro B é de 1min 25s. 

• Quantas voltas o carro A terá de dar para ficar com uma vantagem sobre o carro B? 
• Se a corrida tem 69 voltas, em que volta estará o carro B quando o carro A terminar? 

Poderiam me ajudar a entender este desafío? Eu fiz do seguinte modo:
Como o A precisa ficar com uma volta de vantagem, então terá de dar duas voltas. Sendo assim, como a corrida tem 69 voltas, o carro B estará na 68° volta quando o carro A terminar.

Olá brucy;

I) Para facilitar os cálculos, transformemos os minutos em segundos. O carro A efetua uma volta em 1 minuto e 20 segundos = 60 + 20 = 80 segundos. O carro B, em 85 segundos.

Podemos aplicar um conceito da física (equação horária da posição), mas que deriva da matemática. Chamando a distância de uma volta completa de D e a velocidade de V, temos:

V(A) = (espaço) ∆s/(tempo) ∆t = D/80
V(B) = D/85

A equação horária da posição pode ser descrita como:

s(t) = so + V.t
so = espaço inicial = 0
s(t) = V.t

sA(t) = (D.t)/80 
sB(t) = (D.t)/85

Queremos que o carro A esteja uma volta à frente do carro B, ou seja, sA - sB = D:
(D.t)/80 - (D.t)/85 = D
*dividindo ambos os lados por D*
t/80 - t/85 = 1
(85t - 80t) = 6800
5t = 6800
t = 1360 segundos

II) Calculado o intervalo de tempo total gasto pelo carro A ao completar todas as voltas (69D):

69D = (D.t)/80
t = 69.80 = 5520 segundos

Agora, basta jogar na equação horária da posição de B:

sB(5520) = D.5520/85 = 64,94D

Logo, completou 64 voltas inteiras e está no final da 65° volta.

Ah, me esqueci de perguntar: você possui conhecimento sobre o gabarito da questão? Se sim, publique, por favor.

qedpetrich escreveu:Ah, me esqueci de perguntar: você possui conhecimento sobre o gabarito da questão? Se sim, publique, por favor.

Tenho sim. Acabei de olhar no final do livro e ele diz que o carro A precisa de 17 voltas para ficar com vantagem sobre o B e, o carro B, estará na 65° volta quando o carro A terminar. 

Respectivamente: 
17 voltas; 65° Volta.

brucynorres escreveu:
Tenho sim. Acabei de olhar no final do livro e ele diz que o carro A precisa de 17 voltas para ficar com vantagem sobre o B e, o carro B, estará na 65° volta quando o carro A terminar. 

Respectivamente: 
17 voltas; 65° Volta.

Perfeito. Lembre-se de publicar o gabarito sempre quando for de seu conhecimento, assim, ficará mais fácil para quem for por ventura lhe ajudar.

As 17 voltas vem do tempo calculado em I) dividido pelo seu intervalo de tempo necessário para efetuar uma volta completa: 1360/80 = 17.

qedpetrich escreveu:Olá brucy;

I) Para facilitar os cálculos, transformemos os minutos em segundos. O carro A efetua uma volta em 1 minuto e 20 segundos = 60 + 20 = 80 segundos. O carro B, em 85 segundos.

Podemos aplicar um conceito da física (equação horária da posição), mas que deriva da matemática. Chamando a distância de uma volta completa de D e a velocidade de V, temos:

V(A) = (espaço) ∆s/(tempo) ∆t = D/80
V(B) = D/85

A equação horária da posição pode ser descrita como:

s(t) = so + V.t
so = espaço inicial = 0
s(t) = V.t

sA(t) = (D.t)/80 
sB(t) = (D.t)/85

Queremos que o carro A esteja uma volta à frente do carro B, ou seja, sA - sB = D:
(D.t)/80 - (D.t)/85 = D
*dividindo ambos os lados por D*
t/80 - t/85 = 1
(85t - 80t) = 6800
5t = 6800
t = 1360 segundos

II) Calculado o intervalo de tempo total gasto pelo carro A ao completar todas as voltas (69D):

69D = (D.t)/80
t = 69.80 = 5520 segundos

Agora, basta jogar na equação horária da posição de B:

sB(5520) = D.5520/85 = 64,94D

Logo, completou 64 voltas inteiras e está no final da 65° volta.

Há como resolver sem utilizar essa equação?

brucynorres escreveu:Há como resolver sem utilizar essa equação?

Sim. Basta dizer que o carro A realiza 1 volta a cada 80 segundos e o carro B a cada 85 segundos.

Carro A: 1 volta ___ 80 segundos
Carro B: 1 volta ___ 85 segundos
O carro A passará pelo ponto de partida nos seguintes intervalos: 80, 160, 240, 320...
O carro B, nos seguintes: 85, 170, 255, 340...

Se os dois carros irão começar no mesmo ponto de partida, em quanto tempo irão se reencontrar novamente? Podemos calcular a partir do mínimo múltiplo comum entre esses intervalos de tempo:
mmc (80, 85) = 1360 segundos

Assim, a cada 1360 segundos, ocorrerá o reencontro dos carros. Agora, vamos ver se esse intervalo de tempo é suficiente para o carro A estar a frente do carro B em uma volta:

Carro A = 1360/80 = 17 voltas
Carro B = 1360/85 = 16 voltas

Ou seja, o carro A está 1 volta à frente.

Se você continuar incrementando os resultados de reencontro, perceberá uma periodicidade:
1360.2 = 2720
Carro A = 2720/80 = 34
Carro B = 2720/85 = 32
(carro A duas voltas a frente de B)

1360.3 = 4080
Carro A = 4080/80 = 51
Carro B = 4080/85 = 48
(carro B três voltas a frente de B)

[...] e assim por diante. De maneira análoga podemos resolver a segunda parte do problema. Use e abuse dos recursos da lógica, razão e proporção.

OBS.: É mais fácil aplicar o raciocínio inicial, pois ele é específico. Essa segunda resolução não poderá ser generalizada para qualquer tipo de questão relacionado à movimentação entre corpos pontuais (partículas).