[Tópicos de Física] - Eletrostática - UFRJ

(UFRJ) Um íon de massa m e carga elétrica q incide sobre um segundo íon, de mesma massa m e mesma carga q. De início, enquanto a separação entre eles é grande o bastante para que as forças mútuas sejam desprezíveis, o primeiro mantém uma velocidade constante de módulo V₀ e o segundo se mantém em repouso, como indica a figura 1.

Ao se aproximarem, as forças elétricas coulombianas entre eles, não mais desprezíveis, passam a mudar continuamente suas velocidades. Despreze quaisquer outras forças, considere dados os valores de m, q, V₀ e 4πε₀ e suponha que todos os movimentos se deem em uma reta.

a) Calcule a velocidade do segundo íon quando a velocidade do íon incidente for igual a 3V₀/4 (como indicado na figura 2).

b) Calcule a distância entre eles no instante da situação considerada no item anterior.

GABARITO:

Minhas resoluções foram as seguintes: (Levando em consideração de que ainda não vi quase nada de Mecânica, eu sempre recorro ao máximo aos conceitos básicos. Então, entendo que existem pontos de vista mais "simplificados", porém, ainda não os domino.)


a) 
[latex]\\m\cdot a=\frac{k\cdot q^{2}}{d^{2}}\\\\\boxed{a=\frac{k\cdot q^{2}}{m\cdot d^{2}}}\\\\ V_{incidente}=V_{0}-\frac{k\cdot q^{2}}{m\cdot d^{2}}\cdot t\\\\\\ \frac{k\cdot q^{2}}{m\cdot d^{2}}\cdot t=V_{0}-\frac{3V_{0}}{4}\\\\\\ \boxed{t=\frac{V_{0}\cdot m\cdot d^{2}}{4\cdot k\cdot q^{2}}} [/latex]

[latex]\\V_{ion\; 2}=\frac{k\cdot q^{2}}{m\cdot d^{2}}\cdot t\\\\\\V_{ion\; 2}=\frac{k\cdot q^{2}}{m\cdot d^{2}}\cdot \frac{V_{0}\cdot m\cdot d^{2}}{k\cdot q^{2}\cdot 4}\\\\\\\boxed{V_{ion\; 2}=\frac{V_{0}}{4}}[/latex]

b) Nessa, eu calculei a distância percorrida pelo íon incidente no intervalo de tempo encontrado, e então a substitui na função horária dele.

[latex]\\\left ( \frac{3V_{0}}{4} \right )^{2}=\left ( V_{0}\right )^{2} -2a\Delta S\\\\\\\ \boxed{\Delta S=\frac{7\left ( V_{0} \right )^{2}\cdot k\cdot q^{2}}{32\cdot m\cdot d^{2}} } [/latex]

[latex]\\\Delta S=V_{0}t-\frac{at^{2}}{2}\\\\Desenvolvendo,\; encontra-se:\\\\\boxed{\boxed{d=\frac{q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot m} \sqrt{\frac{7}{6}}}} [/latex]

Considerando que não errei nos cálculos, essa resposta que encontrei deveria ser considerada correta, ou me enganei na interpretação?

Perceba pela aceleração que você encontrou, que ela é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os íons, logo há uma aceleração variável, impossibilitando o uso de fórmulas comuns do movimento uniforme ou uniformemente variado.
Na letra A ocorreu que a distância se cancelava e você chegou na resposta correta. Na letra B é pedido a distância final entre os íons, entretanto, a aceleração que você está substituindo não tem um valor fixo, e na resolução você utilizou "d" como sendo a distância final, sendo que d é um valor variável, creio que foi isso que acabou gerando um erro na resposta.
Como você tem uma aceleração variável, uma maneira de resolver seria algum outro conceito que não envolvesse ela, o que é possível com conservação da energia:
[latex] E_{ini}=E_{fin}\rightarrow \frac{mv_0^2}{2}=\frac{m(\frac{3v_0}{4})^2}{2}+\frac{m(\frac{v_0}{4})^2}{2} + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0d} 
\rightarrow \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0d}=\frac{16mv_0^2}{32} - \frac{10mv_0^2}{32} \rightarrow \frac{q^2}{\pi \epsilon_0d}=\frac{3mv_0^2}{4} 
\rightarrow d = \frac{4q^2}{3\pi \epsilon_0mv_0^2} [/latex]
Creio que seja necessário ir por esse caminho. Caso você não tenha estudado conservação da energia ainda, a questão pode ser muito trabalhosa, pela impossibilidade de uso das fórmulas comuns da cinemática.

Outro modo de fazer a letra a), usando quantidade de movimento Q = m.v:

Q_antes = Q_depois

m.Vo + m.0 = m.(3.Vo/4) + m.V ---> V = Vo/4

Leonardo Mariano escreveu:Perceba pela aceleração que você encontrou, que ela é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os íons, logo há uma aceleração variável, impossibilitando o uso de fórmulas comuns do movimento uniforme ou uniformemente variado.
Na letra A ocorreu que a distância se cancelava e você chegou na resposta correta. Na letra B é pedido a distância final entre os íons, entretanto, a aceleração que você está substituindo não tem um valor fixo, e na resolução você utilizou "d" como sendo a distância final, sendo que d é um valor variável, creio que foi isso que acabou gerando um erro na resposta.
Como você tem uma aceleração variável, uma maneira de resolver seria algum outro conceito que não envolvesse ela, o que é possível com conservação da energia:
[latex] E_{ini}=E_{fin}\rightarrow \frac{mv_0^2}{2}=\frac{m(\frac{3v_0}{4})^2}{2}+\frac{m(\frac{v_0}{4})^2}{2} + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0d} 
\rightarrow \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0d}=\frac{16mv_0^2}{32} - \frac{10mv_0^2}{32} \rightarrow \frac{q^2}{\pi \epsilon_0d}=\frac{3mv_0^2}{4} 
\rightarrow d = \frac{4q^2}{3\pi \epsilon_0mv_0^2} [/latex]
Creio que seja necessário ir por esse caminho. Caso você não tenha estudado conservação da energia ainda, a questão pode ser muito trabalhosa, pela impossibilidade de uso das fórmulas comuns da cinemática.

Entendi, @Leonardo Mariano ! Muito obrigado pela explicação. Voltarei nessa questão quando eu tiver pegado Conservação de Energia!

Obrigado,  Mestre @Elcioschin! Realmente é uma forma bem mais rápida de se resolver a letra a).