(ITA) - quadrados dos módulos

Seja Q(z) um polinômio do 5.º grau, definido sobre o conjunto dos números complexo, cujo coeficiente de z^5 é igual a 1. Sendo z³ + z² + z + 1 um dos fatores de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z) é igual a:
a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 1

Olá campeão.

Q(z) = (z³+z²+z+1)(az²+bz+c) , sendo
Q₁(z) = z³+z²+z+1 e
Q₂(z) = az²+bz+c = z² + (b/a)z + (c/a)

Q₁(z) = z³ + z² + z + 1
e deve ter raízes r₁, r₂ e r₃.
percebe-se que -1 é raiz ----> r₁ = -1
aplicando Briott-Rufini
....|.1....1....1....1
---|---------------
-1.|.1...0....1....0

fatorando, Q₁(z) = (z+1)(z²+1)
z² + 1 = 0 -----> z² = -1 -----> z = ±i -----> r₂ = +i e r₃ = -i

Q(z) = (z³ + z² + z + 1)*[z² + (b/a)z + (c/a)]

Q(0) = 2 ----> c/a = 2 -----> c = 2a

Q(1) = 8 ----> 4*[1 + b/a + 2] = 8 ----> b/a = -1 ----> b = -a

Vamos reescrever Q₂(z) e procurar suas raízes:
az² - az + 2a = 0
∆ = a² - 8a² = -7a²
z = (a ± ia√7)/2a -----> z = (1±i√7)/2
portanto,
r₄ = 1/2 + i√7/2
e
r₅ = 1/2 - i√7/2

|r₄|² = |r₅|² = 1/4 + 7/4 ----> |r₄|² = |r₅|²= 2

E a soma pedida fica:

∑ = |r₁|² + |r₂|² + |r₃|² + |r₄|² + |r₅|²
∑ = 1 + 1 + 1 + 2 + 2
∑ = 7