Relações Trigonométricas e Arcos

Se x é tal que tg(×/2)= z, então, é correto afirmar que cos x é igual a:


R:  1- z²
     1 + z²

tgx = [tg(x/2) + tg(x/2)]/[1 - tg²(x/2)] ---> tgx = 2.z/(1 - z²) ---> tg²x = 4.z²/(1 - z²)² ---> sen²x/cos²x = 4.z²/(1 - z²)² --->

(1 - cos²x)/cos²x) = 4.z²/(1 - z²)² ---> Calcule cosx

\[
    \begin{align*}
        \cos(2x) & = 2\textcolor{Green}{\cos^2(x)} - 1\\
        & = 2 \cdot \textcolor{Green}{\frac{1}{1 + \tan^2(x)}} - 1\\
        & = \frac{2}{1 + \tan^2(x)} - 1 \\
        & = \frac{2- (1+\tan^2(x))}{1+\tan^2(x)} \\
        & = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}
    \end{align*}
    \]
Para demonstrar a identidade verde:
Utilizaremos a RFT, \( \boxed{ \sin^2 (\theta) + \cos^2(\theta) = 1 }\).
    
Dividimos a equação por \( \cos^2(x) \)
    \[
        \begin{align*}
            \Big( \sin^2(x) + \cos^2(x) & = 1 \Big) \div \frac{1}{\cos^2(x)} \\
            \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} & = \frac{1}{\cos^2(x)} \\
            \tan^2(x) + 1 &= \frac{1}{\cos^2(x)} \\
            \frac{\tan^2(x) + 1}{1} & = \frac{1}{\cos^2(x)}
        \end{align*}
    \]
    Concluímos que
    \[
        \textcolor{magenta}{\cos^2(x) = \frac{1}{1 + \tan^2(x)}}.
    \]