Questão de demonstração (matemática discreta)

por Kriubby Ter 03 maio 2022, 12:02

Prove ou desaprove a seguinte conjectura: "Existem três inteiros a, b e c distintos e maiores que 1 tais que a^b = b^c.

Não estou conseguindo achar a solução para essa questão, alguém pode me dar uma ajuda?

por João Pedro Lima Qui 05 maio 2022, 00:45

Fala, Kriubby.
Eu pensei assim: suponha que existem três inteiros a, b e c distintos maiores que 1 tais que a^b = b^c.
[latex]a^b = b^c[/latex]

[latex]log_aa^b = log_ab^c[/latex]

[latex]b = c.log_ab[/latex]

Aplicando log na base b, temos:
[latex]b.log_ba = c[/latex]

[latex]clog_ab.log_ba = c[/latex]

[latex]log_ab.\frac{log_aa}{log_ab} = 1[/latex]

[latex]1 =1[/latex]

Como encontrei uma solução, parece que a conjectura é verdadeira. Mas isso não é suficiente, temos que achar um exemplo, encontrei esse:
[latex]3^{12} = 9^6[/latex]

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