Tangente a curva

A ideia é exatamente essa. Derivadas implícitas.

Eu só gostaria de saber se a expressão está correta, pois ao meu ver não faz tanto sentido escrever a expressão x²+y²=(2x²+2y²-x²)² sendo que isso poderia ser escrito como x²+y²=(x²+2y²)². De qualquer forma, supondo que a expressão esteja correta:

[latex]\\\mathrm{x^2+y^2=(x^2+2y^2)^2\to \frac{d}{dx}\left (x^2+y^2 \right )=\frac{d}{dx}\left [\left (x^2+2y^2 \right )^2 \right ]}\\\\ \mathrm{2x+2y\frac{dy}{dx}=2\left (x^2+2y^2 \right )\left [ 2x+4y\frac{dy}{dx} \right ]\to \frac{dy}{dx}=\frac{x\left ( 2x^2+4y^2-1 \right )}{y\left ( 1-4x^2-8y^2 \right )}}\\\\ \mathrm{Para\ \left ( 0,\frac{1}{2} \right ),\frac{dy}{dx}=0\ \therefore \ y=(x-\cancelto{0}{\mathrm{x_0}})\cancelto{0}{\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}}+\cancelto{\frac{1}{2}}{\mathrm{y_0}}\to y=\frac{1}{2}}[/latex]

Uma ilustração gráfica:



Note que o enunciado pede apenas uma única equação da reta tangente à curva fornecida, entretanto, é fácil observar que temos outra curva tangente, a qual corresponde à curva y=-1/2.