Geometria Plana II

(ESPM-SP) A figura a seguir mostra o paralelogramo BMNP inscrito no triângulo retângulo ABC, em que AB = 5 cm e BC = 13 cm. Sabe-se que o paralelogramo tem área máxima quando M é ponto médio de BC. 


Então, a maior área que o paralelogramo pode ter é igual a:

a) 12 
b) 18 
c) 9 
d) 15 
e) 7,5

GAB: letra "d"

Faça um desenho de modo que o ponto M seja o ponto médio de BC: BM = CM = 13/2

AC² + BC² - AB² ---> AC² = 13² - 5² ---> AC = 12 

Se M é ponto médio de BC, N é ponto médio de AC e P é ponto médio de AB --> AN = CN = 6 e AP = BP = 5/2

Falta achar a altura do paralelogramo: h = PH

Seja P^BM = β ---> senβ = h/BP = AC/BC ---> Calcule h

S = BC.h ---> Calcule S

outro modo.

O triângulo ABC é pitagórico 5-12-13, portanto AC = 12.
Para BMNP ser paralelogramo, seus lados opostos são paralelos. E se M é ponto médio, tambémo serão N e P.
Unindo P e M ficamos com o triâng. ABC dividido em outros 4 triângulos semelhantes a ele (ângulos iguais). Como os segmentos dessa divisão são a base média dos respectivos lados paralelos de ABC, então os quatro triâng. pequenos são congruentes (têm os 3 lados iguais).
Seja S₁ a área de cada triângulo pequeno e S a área do ABC.
S = 4.S₁
Como o paralelogramo ocupa 2.S₁ podemos concluir que sua área mede S/2.

S = 5.12/2 = 30 -----> Spar = 30/2 = 15