Equação do 2º Grau e trigonometria

por Andrew Fernandes Qui 24 Mar 2022, 23:13

A equação escrita na forma a.x²+b.x+c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, possuem raízes x1 = tg(u) e x2 = tg(v), sendo u + v = 60º. Das afirmações abaixo:

I. c = √3.b - b
II. Se S=x1+x2 e P=x1.x2, então S = √3.(1-P)
III. b = √3(c - a)
IV. c = 1/3 . (√3.b + b)

É correto afirmar que:
a) I e II são verdadeiras
b) I e III são verdadeiras
c) I e IV são verdadeiras
d) II e IV são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras (GABARITO)

por **qedpetrich** Sex 25 Mar 2022, 01:29

Ola Andrew;

Desenvolvendo os ângulos:

Equação do 2º Grau e trigonometria Caa4c296-38f8-4a20-9d62-984e02fadca8

Pela soma e produto temos:

P = c/a
S = -b/a

Assim:

Equação do 2º Grau e trigonometria 67751f40-2b2d-4313-8ff3-987727ac1a97

OBS: Todas operações são diretamente relacionadas com o primeiro desenvolvimento se não entender alguma passagem pontue.

por Andrew Fernandes Sex 25 Mar 2022, 09:42

Não consegui visualizar as imagens

por **Elcioschin** Sex 25 Mar 2022, 12:02

x1 = tgu ---> x2 = tgv

Relações de Girard:

x1 + x2 = - b/a ---> tgu + tgv = - b/a ---> I

x1.x2 = c/a ---> tgu.tgv = c/a --> II

u + v = 60º ---> tg(u + v) = tg60º ---> (tgu + tgv)/(1 - tgu.tgv) = √3 ---> (-b/a)/(1 - c/a) = √3 ---> -b/(a - c) = √3 --->

- b = (a - c).√3 ---> ---> *(-1) ---> b = (c - a).√3 ---> III verdadeira

Faça a II

por **qedpetrich** Sex 25 Mar 2022, 19:50

Nossa não entendi qual o motivo do LaTeX ter bugado. Neutral

Mas a minha resposta era bem similar ao que o Elcio acabou equacionando. Só achei confuso a II e a IV.

II. Se S=x1+x2 e P=x1.x2, então √3.(1-P)

Não seria: Se S=x1+x2 e P=x1.x2, então S = √3.(1-P)

E a IV não existe nenhuma relação estabelecida.

por Andrew Fernandes Sex 25 Mar 2022, 23:13

Item II:
Sabendo que: S= x1 + x2 = -b/a e P= x1 . x2= c/a,

Então:

tg(u + v) = tg60º ---> (tgu + tgv)/(1 - tgu.tgv) = √3 ---> (-b/a)/(1 - c/a) = √3 --->

S/(1 - P) = √3 ---> S= √3.(1 - P) ---> II verdadeira