ANGULOS

Determine o número de polígonos regulares que existem, tais que quaisquer de suas diagonais que passam pelo seu centro formam entre si um ângulo expresso em graus por número inteiro.

na minha conta deu 19.
mas assim, bem não fica, você DEVE digitar o enunciado.

Medeiros escreveu:na minha conta deu 19.
mas assim, bem não fica, você DEVE digitar o enunciado.

como chegou?

A Regra IX do fórum exige que o texto do enunciado seja digitado.
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benefica escreveu:
Determine o número de polígonos regulares que existem, tais que quaisquer de suas diagonais que passam pelo seu centro formam entre si um ângulo expresso em graus por número inteiro.

o centro desse polígono regular tem a sua disposição 360°.
360 = 2³.3².5
portanto o número de divisores de 360 é (3+1).(2+1).(1+1) = 24
temos então 24 divisores de 360° que resultam números inteiros.
Porém estamos trabalhando com o ângulo central e devemos retirar os seguintes divisores:
a) 1 --> porque não existe polígono com ângulo central de 360°, ou seja, com apenas um lado;
b) 2 --> porque não existe polígono de somente dois lados;
c) todos os polígonos de número de lados ímpar: triângulo, pentágono, eneágono, ... porque suas diagonais (traçadas entre dois vértices) não passam pelo centro.

elencando os divisores de 360 --> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

precisamos desconsiderar o --> 1, 2, 3, 5, 9, 15, 45

portanto sobram 24 - 7 = 17 poligonos

__________________________ Comentário

o divisor 360 fornece o ângulo central de 360°/360 = 1° --> polígono de 360 lados
o divisor 180 fornece o ângulo central de 360°/180 = 2° --> polígono de 180 lados