Relatividade Restrita - Colisão
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Relatividade Restrita - Colisão
por coqzieiro Dom 13 Mar 2022, 11:55
Um próton em movimento com um fator de Lorentz γ colide com outro próton em repouso. Se, após a colisão, os próton saem com energias iguais, determine o ângulo entre eles.
Gabarito: [latex]\theta = arccos(\frac{\gamma -1}{\gamma +3})[/latex]
Desde já, muitíssimo obrigado pela ajuda!
Gabarito: [latex]\theta = arccos(\frac{\gamma -1}{\gamma +3})[/latex]
Desde já, muitíssimo obrigado pela ajuda!
coqzieiro- Recebeu o sabre de luz
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Re: Relatividade Restrita - Colisão
por JaquesFranco Qui 18 Jul 2024, 18:59
Conservar a energia:
[latex]\gamma_1 m_0c^{2} + m_0c^{2} = 2\gamma_2m_0c^{2} \Rightarrow \gamma_1 + 1 = 2\gamma_2 \left ( I \right )[/latex]
Conversar o momento:
[latex]\left (\gamma_1 m_0v_1 \right )^{2} = 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2} + 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2} cos\theta \Rightarrow cos\theta = \frac{\left (\gamma_1 m_0v_1 \right )^{2} - 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2}}{ 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2}} \left ( II \right )[/latex]
Sabendo que:
[latex]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow v^{2} = \frac{c^{2}\left ( \gamma ^{2} - 1\right )}{\gamma ^{2}} \left ( III \right )[/latex]
De [latex]\left ( III \right ) e \left ( II \right )[/latex]
[latex]cos\theta = \frac{ \gamma_1^{2}\frac{c^{2}\left ( \gamma_1 ^{2} - 1\right )}{\gamma_1 ^{2}} - 2\gamma_2^{2}\frac{c^{2}\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}{\gamma_2 ^{2}}}{ 2\gamma_2^{2}\frac{c^{2}\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}{\gamma_2 ^{2}}} = \frac{\left ( \gamma_1 ^{2} - 1\right ) - 2\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}{2\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}[/latex] De [latex]\left ( I \right ) [/latex]:
[latex]cos\theta = \frac{\gamma_1 ^{2} + 1 - 2\gamma_1 }{\gamma_1 ^{2} -3 + 2\gamma_1 } = \frac{\left ( \gamma_1 - 1 \right )^{2}}{\left ( \gamma_1 - 1 \right )\left ( \gamma_1 + 3 \right )} \Rightarrow \theta = arccos\left ( \frac{ \gamma_1 - 1 }{\gamma_1 + 3} \right )[/latex]
[latex]\gamma_1 m_0c^{2} + m_0c^{2} = 2\gamma_2m_0c^{2} \Rightarrow \gamma_1 + 1 = 2\gamma_2 \left ( I \right )[/latex]
Conversar o momento:
[latex]\left (\gamma_1 m_0v_1 \right )^{2} = 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2} + 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2} cos\theta \Rightarrow cos\theta = \frac{\left (\gamma_1 m_0v_1 \right )^{2} - 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2}}{ 2\left (\gamma_2 m_0v_2 \right )^{2}} \left ( II \right )[/latex]
Sabendo que:
[latex]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow v^{2} = \frac{c^{2}\left ( \gamma ^{2} - 1\right )}{\gamma ^{2}} \left ( III \right )[/latex]
De [latex]\left ( III \right ) e \left ( II \right )[/latex]
[latex]cos\theta = \frac{ \gamma_1^{2}\frac{c^{2}\left ( \gamma_1 ^{2} - 1\right )}{\gamma_1 ^{2}} - 2\gamma_2^{2}\frac{c^{2}\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}{\gamma_2 ^{2}}}{ 2\gamma_2^{2}\frac{c^{2}\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}{\gamma_2 ^{2}}} = \frac{\left ( \gamma_1 ^{2} - 1\right ) - 2\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}{2\left ( \gamma ^{2}_2 - 1\right )}[/latex] De [latex]\left ( I \right ) [/latex]:
[latex]cos\theta = \frac{\gamma_1 ^{2} + 1 - 2\gamma_1 }{\gamma_1 ^{2} -3 + 2\gamma_1 } = \frac{\left ( \gamma_1 - 1 \right )^{2}}{\left ( \gamma_1 - 1 \right )\left ( \gamma_1 + 3 \right )} \Rightarrow \theta = arccos\left ( \frac{ \gamma_1 - 1 }{\gamma_1 + 3} \right )[/latex]
JaquesFranco- Jedi
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