Geometria Analítica - Parábola

por William Minerva Qui 24 Fev 2022, 21:20

Como formar a equação da parábola de vértice V(-2,3) e foco F(1,3)?

A resposta é y² - 6y - 12x - 15 = 0, mas como eu faço para chegar nessa equação? Alguém poderia me ajudar por favor?

por **Elcioschin** Qui 24 Fev 2022, 21:46

V(x0, y0) --> V(-2, 3) ---> x0 = - 2 ---> y0 = 3

xF - xV = p/2 ---> 1 - (-2) = p/2 ---> p = 6

x = (1/2.p).y² + (-y0/p).y + (y0² + 2.p.x0)/2.p

x = (1/12).y² + (-3/6).y + [3² + 2.6.(-2)]/12

x = (1/12).y² - (6/12).y - 15/12 ---> *12 ---> y² - 6.y - 12.x - 15 = 0

por **qedpetrich** Qui 24 Fev 2022, 21:54

Um outro modo ainda:

$Geometria Analítica - Parábola Png$

Assim, um ponto pertencente a reta diretriz é (-5,3). Sabemos que a reta diretriz é perpendicular a reta VF. Mas note que VF trata-se de uma reta paralela ao eixo das abscissas, então a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, portanto:

(d): x + 5 = 0

A partir daqui basta utilizar a definição de parábola: conjunto de todos os pontos do plano α que são equidistantes de F e de d. Sendo P um ponto genérico da parábola P = (x,y), assim:

dPF = dPd ---> (1-x)²+(3-y)² = (|x + 5|)²

x² - 2x + 1 + 9 -6y + y² = x² - 10x + 25

y² - 6y + 12x - 15 = 0

por William Minerva Qui 24 Fev 2022, 23:30

qedpetrich escreveu:Um outro modo ainda:

$Geometria Analítica - Parábola Png$

Assim, um ponto pertencente a reta diretriz é (-5,3). Sabemos que a reta diretriz é perpendicular a reta VF. Mas note que VF trata-se de uma reta paralela ao eixo das abscissas, então a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, portanto:

(d): x + 5 = 0

A partir daqui basta utilizar a definição de parábola: conjunto de todos os pontos do plano α que são equidistantes de F e de d. Sendo P um ponto genérico da parábola P = (x,y), assim:

dPF = dPd ---> (1-x)²+(3-y)² = (|x + 5|)²

x² - 2x + 1 + 9 -6y + y² = x² - 10x + 25

y² - 6y + 12x - 15 = 0

Eu só não entendi por que a distância de P até d é igual a (|x+5|)², isso vem da teoria de distância entre ponto e reta?

por **qedpetrich** Sex 25 Fev 2022, 08:49

Exatamente, distância entre ponto e reta, como |k|² = k², apenas omiti um passo. Também não mostrei o denominador sendo √(a²+b²) ---> a = 1 e b = 0 ---> √(1²+0²) = √1 = 1. Dividir por 1 não altera nenhum resultado.

por William Minerva Sex 25 Fev 2022, 11:35

qedpetrich escreveu:Exatamente, distância entre ponto e reta, como |k|² = k², apenas omiti um passo. Também não mostrei o denominador sendo √(a²+b²) ---> a = 1 e b = 0 ---> √(1²+0²) = √1 = 1. Dividir por 1 não altera nenhum resultado.

Aah agora entendi, muito obrigado.