quantas elipses podem ser construídas?

Deseja-se construir uma elipse que tenha os dois focos situados no eixo x. Um desses focos deve ser o ponto (3,0). Essa elipse deve passar pelos pontos (0,2) e (7,-2). Quantas elipses podem ser construídas ?
a) exatamente uma
b) nenhuma
c) exatamente duas
d) exatamente três
e) infinitas

olha a imagem ta aqui a resoluçao eu naum conseguiria fazer ai procurei na net e achei uma bem legal

Equação reduzida de uma elipse :

(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1 , onde (x0,y0) é o centro da elipse

Como se pretende que os focos estejam situados no eixo dos x , o centro também estará,já que é o ponto médio entre os focos.
Então o centro será da forma (x0,0) , e a equação

(x-x0)²/a² + y²/b² = 1

Dado que a elipse passa por (0,2) , substituindo estes valores de x e y na equação vem :

(-x0)²/a² + 2²/b² = 1
(x0)²/a² + 4/b² = 1 ..................(1)

do mesmo modo,porque passa em (7,-2) ,

(7-x0)²/a² + 4/b² = 1 ...............(2)

Comparando as equações (1) e (2) concluímos que :

(x0)²/a² = (7-x0)²/a²
(x0)² = (7-x0)²
x0 = 7-x0 ou x0 = -7+x0
x0 = 7/2 ou 0 = -7

Portanto há um único valor possível para o centro da elipse, (7/2,0)

A equação da elipse é : (x-7/2)²/a² + y²/b² = 1

Sabemos que a distância entre o foco dado e o centro (valor a que chamamos c) é d( (3,0) , (7/2,0) ) = 1/2

c = 1/2 , e então o outro foco é em (4,0)

Nota : assim o centro (7/2,0) é o ponto médio de (3,0) e (4,0)

Por definição de elipse, a soma das distâncias de (0,2) aos focos é 2a

d ( (0,2),(3,0) ) + d ( (0,2),(4,0) ) = 2a
√ [(0-3)²+(2-0)²] + √ [(0-4)²+(2-0)²] = 2a
√13 + √20 = 2a
a = (√13+√20)/2

Nota : podes verificar que também a soma das distâncias de (7,-2) aos focos é a mesma,evidentemente

Como a² = b² + c² ,

[(√13+√20)/2]² = b² + (1/2)²

(13+20+2√260)/4 = b² + 1/4

b² = (32+2√260)/4 = (16+√260)/2

A equação da elipse procurada é portanto :

(x-7/2)² / ((√13+√20)/2)² + y² / ((16+√260)/2)² = 1

e esta elipse é única , opção a

espero ter ajudado