Determinar vértice de losango

por claralirasll Qui 10 Fev 2022, 20:24

(Iezzi)Os pontos A(-3,5), B(0,6) e C(1,3) são vértices de um losango. Determine as coordenadas do quarto vértice.

Gabarito:

por **Elcioschin** Qui 10 Fev 2022, 21:47

Uma figura para ajudar:

por **petras** Sex 11 Fev 2022, 08:21

D = (x,y).

Logango: 4 lados congruentes portanto A e C, B e D são iguais.
Igualando a distâncias entre 2 pontos;
(x-1)^2+(y-3)^2=(x+3)^2+(y-5)^2
x^2-2x+1+y^2-6y+9= x^2+6x+9+y^2-10y+25
y=2x+6.
O lado do losango mede:
d^2=(1-0)^2+(3-6)^2  →  d=√10.
10=(x-1)^2+(y-3)^2
x^2-2x+1+y^2-6y+9=10
x^2-2x+(2x+6)^2-6(2x+6)= 0 →  x=0 ou x=-2
x=0 → y=6 : C (0,6).
x=-2 →  y=2.
D= (-2,2)}

por **Elcioschin** Sex 11 Fev 2022, 10:12

Outro modo:

A reta CD é paralela à reta AB, logo, ambas tem o mesmo coeficiente angular: mCD = mAB

yC - yD ... yB - yA ........ 3 - yD ...... 6 - 5 .......... 3 - yD ...... 1
--------- = --------- ---> --------- = --------- ---> --------- = ----
xC - xD ... xB - xA ........ 1 - xD .... 0 - (-3) ........ 1 - xD ..... 3

Denominador ---> 1 - xD = 3 --> xD = -2
Numerador -----> 3 - yD = 1 ---> yD = 2

D(-2, 2)

por claralirasll Sex 11 Fev 2022, 14:52

petras escreveu:Logango: 4 lados congruentes portanto A e D, B e D são iguais.

Boa tarde, Petras!

Excelente resolução, muito obrigada Smile

Acredito que pode ter ocorrido um erro de digitação nessa parte, pois deveria ser "A e D, C e D são iguais.", certo ?

por claralirasll Sex 11 Fev 2022, 14:55

Elcioschin escreveu:Outro modo:

A reta CD é paralela à reta AB, logo, ambas tem o mesmo coeficiente angular: mCD = mAB

yC - yD ... yB - yA ........ 3 - yD ...... 6 - 5 .......... 3 - yD ...... 1
--------- = --------- ---> --------- = --------- ---> --------- = ----
xC - xD ... xB - xA ........ 1 - xD .... 0 - (-3) ........ 1 - xD ..... 3

Denominador ---> 1 - xD = 3 --> xD = -2
Numerador -----> 3 - yD = 1 ---> yD = 2

D(-2, 2)

Muito obrigada, Elcioshin, tanto o desenho quanto esta resolução foram bastante esclarecedoras!

por **qedpetrich** Sex 11 Fev 2022, 15:03

Uma outra maneira ainda:

Tratarmos como se fosse literalmente vetores, então como em um losango temos a particularidade de possuir lados paralelos, dessa forma, o lado BC é paralelo ao lado AD. Aplicando um tratamento vetorial, tanto nas componentes x e y, podemos fazer sendo:

Vetor BC = Vetor AD

x_C - x_B = x_D - x_A

1 - 0 = x_D - (-3)

x_D = 1 - 3 = -2

y_C - y_B = y_D - y_A

3 - 6 = y_D - 5

y_D = -3 + 5 = 2

Aplicar esse tipo de ideia facilita bastante, pois as contas basicamente são somente a diferença entre pontos. Espero ter ajudado!

por claralirasll Dom 13 Fev 2022, 15:25

Muito interessante, qedpetrich!

Eu nunca tinha visto essa ideia de tratamento vetorial (procurei no livro e também não encontrei), poderia me informar onde posso me aprofundar no tema?

por **qedpetrich** Dom 13 Fev 2022, 15:58

Não sei por qual coleção você está estudando, mas uma que eu achei bem interessante e já serve sim para aprofundamento é o livro do Caio Guimarães, se você der uma procurada por aí na internet é relativamente fácil de encontrar.

por claralirasll Dom 13 Fev 2022, 19:12

Encontrei o livro do Caio Guimarães sobre Álgebra Vetorial e Geometria Analítica e, dando uma olhada superficial, percebi que realmente essa parte de vetores não é trabalhada na obra que venho utilizando.

Com certeza irei estudar, valeu pela recomendação!