Matemática - Álgebra I

por coqzieiro Dom 06 Fev 2022, 16:12

Olá, gostaria de ajuda no raciocínio dessas questões.

1) Encontre x real satisfazendo [latex]\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}=x[/latex]

OBS.: A (1) tentei fazer elevando os dois lados ao quadrado, mas cheguei numa equação monstruosa e não consigo achar as raízes sem calculadora. Já na (2) não faço a mínima ideia como desenvolver essa função piso.

Desde já, muito obrigado pela atenção. Very Happy

Postagem editada por Giovana Martins. Só é permitida uma questão por postagem.

por **Giovana Martins** Dom 06 Fev 2022, 16:54

Olá, coqzieiro.

Pelas regras do fórum, só é permitida uma questão por postagem. Além disso, a sua postagem deveria ter sido feita na seção de álgebra ao invés da seção de materiais didáticos, a qual é destinada ao compartilhamento de materiais, dicas etc. É também necessário postar o gabarito se você o conhecer.

Por favor, leia as regras: https://pir2.forumeiros.com/Regulamentos-h26.htm

Irei mudar a postagem de seção.

Seja bem-vindo!

por Furost_Nova Dom 06 Fev 2022, 16:57

O 1 tem um truque. Essas raízes dentro da outra podem ser transformadas numa série de potências. Eleva ao quadrado. Some a raiz. Antes de vc fazer de novo, soma -1 dos dois lados pra tirar o +1 do lado esquerdo. Aí eleva ao quadrado de novo.

por joaoZacharias Dom 06 Fev 2022, 17:44

Boa tarde;

Ceio que seja isso:

[latex]\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}} = x \implies x = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt {1 + ...}}}}} \implies

x = \sqrt{1+x} \implies x^2 -x - 1 = 0 \implies x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}[/latex]

Note que se x é real então [latex]x > -1[latex], pois [latex]x = \sqrt{1+x}, \text{ } x \in \mathbb{R} \implies x+1 \ge 0[/latex].

Observe que [latex]x \ge 0[latex], pois [latex]1+x \ge 0 \implies \sqrt{1+x} \ge 0, \text{ }x = \sqrt{1+x} \implies x \ge 0 \implies x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/latex]

Bons estudos Smile