Matemática - Álgebra

por coqzieiro Qua 23 Mar 2022, 18:23

Seja [latex]\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\, \, \, e \, \, \, \rho =\varphi +\sqrt{\varphi }[/latex]. Então o valor da expressão [latex]\rho ^{4}-2\rho ^{3}-2\rho ^{2}-2\rho + 4[/latex] é igual a:

a)1

b)2

c)3

d)4

e)5

Gabarito: C

Desde já, muito obrigado pela ajuda! Very Happy

por **Elcioschin** Qua 23 Mar 2022, 19:05

Calcule φ² , φ³ , φ⁴

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4.a³.b + 6.a².b² + 4.a.b³ + b⁴

Basta fazer as contas, para a = φ e b = √φ

por **qedpetrich** Qua 23 Mar 2022, 19:35

Olá;

$Matemática - Álgebra Png$

Resolvendo em função de ρ:

$Matemática - Álgebra Png$

Considerei somente o valor negativo, pois pelas alternativas é evidente que trata-se de um número inteiro.

$Matemática - Álgebra Png$

Por acaso você não errou em algum sinal? A expressão não seria:

$Matemática - Álgebra Png$

Ou talvez, eu só esteja delirando e não seja dessa forma para seguir.

por coqzieiro Qua 23 Mar 2022, 19:43

Olha, na calculadora temos 3 como resposta usando a expressão do enunciado, só que o cálculo braçal serial absurdo para chegar na resposta

por **qedpetrich** Qua 23 Mar 2022, 19:46

Bom, concluímos que é delírio meu mesmo kkkkkkkk. Nesse caso, envolve a raiz positiva da minha hipótese, mas mesmo nessa situação vai dar um belo trabalho algébrico, como você bem frisou.

por **Elcioschin** Qua 23 Mar 2022, 19:55

qedpetrich

Gostei do seu caminho mas existe erro de sinal:

φ² = φ + 1 ---> I

ρ² - 2.φ.ρ = φ - φ² ---> II

I em II ---> ρ² - 2.φ.ρ = φ - (φ + 1) ---> ρ² - 2.φ.ρ + 1 = 0

Deixo para vc completar.

por **qedpetrich** Qua 23 Mar 2022, 19:58

Eita, obrigado Mestre Elcio, sabia que estava cometendo um equivoco, vou tentar completar aqui. Smile

por **qedpetrich** Qua 23 Mar 2022, 23:14

Algumas manipulações:

$Matemática - Álgebra Png$

Agora sim, resolvendo a equação com o sinal coerente:

$Matemática - Álgebra Png$

Elevando ambos ao quadrado:

$Matemática - Álgebra Png$

Da primeira relação multiplicando ambos por p:

$Matemática - Álgebra Png$

Antes de realizar a expressão, vou fazer uma ligeira alteração nos termos elevados na 5/2 potência, sendo:

$Matemática - Álgebra Png$

Fazendo a alteração chegamos em:

$Matemática - Álgebra Png$

Somando todos os elementos da expressão:

$Matemática - Álgebra Png$

Com toda a certeza do mundo deve existir um jeito menos desgastante, mas esse foi o que eu consegui fazer. Espero ter ajudado. affraid

por **Medeiros** Qui 24 Mar 2022, 00:38

Qedpetrich
gostei muito da sua ideia inicial -- gosto das ideias originais -- mas na primeira resposta ela levava ao mesmo valor para [latex]\rho[/latex]. E então admirei seu "malabarismo" na resposta final.

Consegui um caminho menos árduo seguindo a orientação do Élcio. Considerei as potências de [latex]\varphi[/latex] como a sequência de Fibonacci e as substituí após a soma.