(UFC-2007) Paralelepípedo e tetraedro

(UFC-2007) ABCDA1B1C1D1 é um paralelepípedo reto-retângulo de bases ABCD e A1B1C1D1, com arestas laterais AA1, BB1, CC1 e DD1. Calcule a razão entre os volumes do tetraedro A1BC1D e do paralelepípedo ABCDA1B1C1D1.

Gabarito:

Seja V o volume do paralelepípedo, na figura abaixo enxergamos o tetraedro e 4 outras pirâmides de mesmo volume (diferente do volume do tetraedro).

Cada uma das quatro pirâmides possui igual volume V' que é:
V' = V/6
pois sendo h e S a altura e a área da base do paralelepípedo temos:
V = h.S

Mas como a área da base de cada sólido desses é S/2 e sua altura é a mesma que o paralelepípedo temos:
V' = (1/3).h.S/2 = h.S/6 = V/6.

Logo, o volume do tetraedro é:
V - 4V/6 = 2V/6 = V/3.

A razão pedida é:
V/3 : V = 1/3.

A pirâmide mais difícil de observar é a A1C1DD1 que se encontra escondida para quem observa na tela.


Essa rotação pode te ajudar a ver o que se passa melhor do que a imagem estática (existem 4 cores e cada uma está em uma das quatro pirâmides):

Animação com Cubo e tetraedro: