Posição em função do tempo no MUV: Implicações

por Fabio PMZ Qui 27 Jan 2022, 18:05

Gostaria de saber por que na fórmula do "sorvetão" (S = S0 + v0 . t + a . t²/2) a multiplicação da aceleração pelo tempo é dividida por 2 em decorrência da descrição do gráfico da velocidade por tempo, porém, não se chega ao denominador "2" apenas realizando-se a junção da fórmula da função horária do MU e da função horária da velocidade do MUV, como descrito abaixo:
(S = S0 + v . t) (v = v0 + a . t)
S = S0 + v . t onde v = v0 + a . t
S = S0 + (v0 + a . t).t
S = S0 + V0t + at². Nesse caso, não há o denominador 2.
Fico grato caso alguém possa me explicar.

por meunomesemnome Qui 27 Jan 2022, 18:59

@Fabio PMZ, boa tarde, beleza?

Cara, acredito que o erro esteja acontecendo pq vc está misturando uma equação do MU (movimento uniforme) com uma outra do MUV (movimento uniformemente variado). Para encontrar o espaço utilizando o tempo, usa-se a [latex]v^{2}=vo^{2} + 2\alpha \Delta s[/latex] e [latex]v= vo + \alpha t[/latex].

Substitui o v. Fica assim.

[latex](vo + \alpha t)^{2} = vo^{2} + 2\alpha \Delta s [/latex]

[latex]vo^{2} + 2vo.\alpha. t + (\alpha t)^2 = vo^{2} + 2\alpha.\Delta s[/latex]

corta o [latex]vo^{2}[/latex] e divide td por [latex]2\alpha [/latex], aí fica assim:

[latex]\Delta s = vo.\alpha .t + \alpha t^{2}/2[/latex]

bye!

por aitchrpi Qui 27 Jan 2022, 19:11

A resposta é meio complicada, eu te recomendo ler o livro Tópicos de Física, lá eles explicam tudo isso muito bem. A equação horaria da posição do MRU não é valida para o MRUV, não tem sentido físico fazer as substituições que você fez.

No MRU a velocidade é constante, então basta multiplica-lá pelo tempo para encontrar o descolamento do corpo em questão. Então, [latex]\Delta S = v_0t[/latex]. Como [latex]\Delta S = S-S_0[/latex], [latex]S - S_0 = v_0t[/latex]. Logo, obtemos a equação horaria do MRU: [latex]S = v_0t + S_0[/latex]

Já no MRUV, a velocidade não é constante, ela depende do tempo. Então para encontrar o deslocamento de um corpo, você precisa dividir o movimento dele em vários intervalos de tempo bem pequenos. O truque é que, durante esses intervalos, a velocidade não muda muito, então você pode aproximar a distância percorria pela equação horaria do MRU. Depois você soma a distância em todos os intervalos para obter a equação horaria do MRUV. E isso é equivalente a achar a área de baixo do gráfico da velocidade em relação ao tempo!

E o gráfico é esse:

Posição em função do tempo no MUV: Implicações DXKNx1x

E a área de baixo do gráfico é a mesma de um trapézio! E isso a gente sabe calcular. Área do trapézio = S - S0 = (v + at + v) * t/2 = (2v*t +at²)/2 = vt + at²/2. E essa é a equação horaria do MRUV, S = vt + at²/2 + S0.

Se você souber um pouquinho de cálculo, fica mais fácil. dy²/d²t = a, ai integra dos dois lados duas vezes, e o resultado é: y = at²/2 + vt + y0. Mas a ideia é a mesma.

por **Giovana Martins** Qui 27 Jan 2022, 19:24

Oi, Fabio.

Outra opção:

De uma forma bem simplista, mas um pouco avançada caso você domine apenas a matemática abrangida pelo ensino médio, o fator 1/2 surge devido a uma integral, conforme abaixo. Veja:

[latex]\\\mathrm{a=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}\to \int_{v_0}^{v}dv=\int_{0}^{t}(a)dt\to v=v_0+at}\\\\\mathrm{\frac{ds}{dt}=v_0+at\to \int_{s_0}^{s}ds=v_0\int_{0}^{t}dt+a\underset{=\frac{1}{2}t^2}{\underbrace{\mathrm{\int_{0}^{t}(t)dt}}}\to s=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2}[/latex]

Caso você não entenda muito sobre integrais, procure rapidamente por integrais polinomiais que você entenderá rapidamente o que eu fiz.

Hoje o tempo está curto, mas, se tiver dúvidas, avise, que assim que eu puder eu apareço por aqui.