Quadrilátero ABCD

1. Dado um quadrilátero ABCD, demonstre que os pontos médios das diagonais e o ponto médio do segmento que tem por extremos os pontos determinados pelos dois lados opostos, estão em linha reta.

Vou mostrar uma sol usando coordenadas barientricas.




Vamos considerar as coordenadas baricentricas em relação ao triângulo AEF, com A=(1, 0, 0), E=(0, 1, 0) e F=(0, 0, 1).
Seja P o ponto médio de EF, Q o ponto médio da diagonal BD e R o ponto médio da diagonal AC.
Assim, P=(0, 1/2, 1/2).
Sejam 0 < t, s < 1 tais que B=(t, 1-t, 0) e D=(s, 0, 1-s).
Sendo Q ponto médio de BD, temos Q=((t+s)/2, (1-t)/2, (1-s)/2).

Como C está no segmento BF e no segmento ED, por um lado, existe um real 0 < k < 1 tal que C=kB+(1-k)F, abrindo essa equação, podemos descobrir que C=(kt, k(1-t), 1-k),
por outro lado, aárea do triangulo degenerado ECD é, obviamente, 0, então
[latex] \left[ ECD \right] =[AEF]\cdot \left|\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 \\kt & k(1-t) & 1-k \\s & 0 & 1-s\end{vmatrix}\right|=0[/latex]
resolvendo essa equação em k, obtemos 
[latex]k=\frac{s}{s+t-st}[/latex]
e então
[latex]C=\left(\frac{ts}{s+t-ts}, \frac{s(1-t)}{s+t-ts}, \frac{t(1-s)}{s+t-ts}\right)[/latex]

Veja que R é ponto médio de AC, então 
[latex]R=\left(\frac{s+t}{2(s+t-st)}, \frac{s(1-t)}{2(s+t-st)}, \frac{t(1-s)}{2(s+t-st)}\right)[/latex]

finalmente podemos calcular a área do triangulo PQR:
[latex]\begin{align*} \left[ PQR \right] &= [AEF]\left|\begin{vmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{s+t}{2} & \frac{1-t}{2} & \frac{1-s}{2} \\ \frac{s+t}{2(s+t-st)} & \frac{s(1-t)}{2(s+t-st)} & \frac{t(1-s)}{2(t+s-st)}\end{vmatrix}\right|\\
&= \frac{[AEF]}{8(s+t-st)}\left|\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\ s+t & 1-t & 1-s \\ s+t & s(1-t) & t(1-s)\end{vmatrix}\right|\\
&=\frac{[AEF]}{8(s+t-st)}\left|\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\ 0 & (1-t)(1-s) & (1-s)(1-t) \\ s+t & s(1-t) & t(1-s)\end{vmatrix}\right| &&\qquad (L2 \leftarrow L2-L3)\\
&=0 &&\qquad (L2=(1-s)(1-t)\cdot L1)
\end{align*}[/latex]
A área é 0, portanto o triangulo é degenerado e então P, Q e R são colineares, que é o que queríamos.

Se vc n entender alguma coisa ou achar um erro falaí

Tava tentando resolver essa questão de outras formas pq acho que coordenadas baricentricas não é muito conhecido e deve ter ficado confuso, ent aqui vão outras duas sol.
A primeira usa teorema de Menelaus e a segunda usa só geom. analítica:

1.


Novamente, seja R o ponto médio de AC, Q o ponto médio de BD e P o ponto médio de EF. Queremos provar que P, Q e R são colineares.
Observe o triangulo CDF. O ponto E está sobre o prolongamento de DC, o ponto B está sobre o prolongamento de FC e A está sobre o prolongament de FD. Ademais, A, B e E são colineares. Portanto, pelo teorema de Menelaus, 
[latex]\frac{BC}{BF}\cdot\frac{ED}{EC}\cdot\frac{AD}{AF}=1[/latex].

Seja S o ponto médio de CD, T o ponto médio de DF e U o ponto médio de CF.
QS é base média no triangulo BCD, portanto QS//BC. 
ST é base média no triangulo CDF, então ST//CF. Assim, Q, S e T são colineares. Analogamente, podemos descobrir que P, U e T são colineares e R, S e U são colineares, mais ainda, podemos descobrir as seguintes relações:
2*QS=BC, 2*QT=BF;
2*PU=EC, 2*PT=ED;
2*RS=AD, 2*RU=AF;
Mas então,
[latex]\frac{QS}{QT}\cdot\frac{PT}{PU}\cdot\frac{RU}{RS}=\frac{2\cdot QS}{2\cdot QT}\cdot\frac{2\cdot PT}{2\cdot PU}\cdot\frac{2\cdot RU}{2\cdot RS}=\frac{BC}{BF}\cdot\frac{ED}{EC}\cdot\frac{AD}{AF}=1[/latex]
Então, pela recíproca do teorema de menelaus, os pontos P, Q e R são colineares, que é o que queríamos.



2.
Eu vou deixar para você verificar as contas.
Podemos construir, spg, um sistema cartesiano de forma que E=(0, 0) e F=(1, 0)
seja A=(m, n).
Novamente, existem t e s tais que B=tA+(1-t)E=(tm, tn) e D=sA+(1-s)F=(sm-s+1, sn)

Podemos encontrar facilmente a reta suporte de ED, u: sn*x-(sm-s+1)y=0
e a reta suporte de  FB, v: -tn*x+(tm-1)y+tn=0
Sendo C a interseção de u e v, resolvendo o sistema, obtemos 
x=(sm-s+1)t/(s+t-st) e
y=tns/(s+t-st)

P é ponto médio de EF, então P=(1/2, 0)
Q é ponto médio de BD, então Q=1/2*(tm+sm-s+1, tn+sn)
R é ponto médio de AC, então [latex]R=\frac{A+C}{2}=\left(\frac{ms+mt-ts+t}{2(s+t-st)}, \frac{ns+nt}{2(s+t-st)}\right)[/latex]

Então agora basta verficar que os três pontos são colineares. Você pode fazer isso mostrando que o coeficiente linear das retas PQ e QR são iguais, ou mostrando que a área do triangulo PQR é 0 (esse último bem rapidinho usando o determinante que calcula a área dadas as coordenadas do vértice, tipo na primeira solução).

de novo, se vc tiver alguma duvida ou achar um erro falaí