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Quadrilátero ABCD

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Mensagem por Zeis Seg 10 Jan 2022, 13:58

1. Dado um quadrilátero ABCD, demonstre que os pontos médios das diagonais e o ponto médio do segmento que tem por extremos os pontos determinados pelos dois lados opostos, estão em linha reta.

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Mensagem por SilverBladeII Qua 12 Jan 2022, 20:14

Vou mostrar uma sol usando coordenadas barientricas.



Quadrilátero ABCD 7XbiqyMiQ6YAAAAAElFTkSuQmCC
Vamos considerar as coordenadas baricentricas em relação ao triângulo AEF, com A=(1, 0, 0), E=(0, 1, 0) e F=(0, 0, 1).
Seja P o ponto médio de EF, Q o ponto médio da diagonal BD e R o ponto médio da diagonal AC.
Assim, P=(0, 1/2, 1/2).
Sejam 0 < t, s < 1 tais que B=(t, 1-t, 0) e D=(s, 0, 1-s).
Sendo Q ponto médio de BD, temos Q=((t+s)/2, (1-t)/2, (1-s)/2).

Como C está no segmento BF e no segmento ED, por um lado, existe um real 0 < k < 1 tal que C=kB+(1-k)F, abrindo essa equação, podemos descobrir que C=(kt, k(1-t), 1-k),
por outro lado, aárea do triangulo degenerado ECD é, obviamente, 0, então
[latex] \left[ ECD \right] =[AEF]\cdot \left|\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 \\kt & k(1-t) & 1-k \\s & 0 & 1-s\end{vmatrix}\right|=0[/latex]
resolvendo essa equação em k, obtemos 
[latex]k=\frac{s}{s+t-st}[/latex]
e então
[latex]C=\left(\frac{ts}{s+t-ts}, \frac{s(1-t)}{s+t-ts}, \frac{t(1-s)}{s+t-ts}\right)[/latex]

Veja que R é ponto médio de AC, então 
[latex]R=\left(\frac{s+t}{2(s+t-st)}, \frac{s(1-t)}{2(s+t-st)}, \frac{t(1-s)}{2(s+t-st)}\right)[/latex]

finalmente podemos calcular a área do triangulo PQR:
[latex]\begin{align*} \left[ PQR \right] &= [AEF]\left|\begin{vmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{s+t}{2} & \frac{1-t}{2} & \frac{1-s}{2} \\ \frac{s+t}{2(s+t-st)} & \frac{s(1-t)}{2(s+t-st)} & \frac{t(1-s)}{2(t+s-st)}\end{vmatrix}\right|\\
&= \frac{[AEF]}{8(s+t-st)}\left|\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\ s+t & 1-t & 1-s \\ s+t & s(1-t) & t(1-s)\end{vmatrix}\right|\\
&=\frac{[AEF]}{8(s+t-st)}\left|\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\ 0 & (1-t)(1-s) & (1-s)(1-t) \\ s+t & s(1-t) & t(1-s)\end{vmatrix}\right| &&\qquad (L2 \leftarrow L2-L3)\\
&=0 &&\qquad (L2=(1-s)(1-t)\cdot L1)
\end{align*}[/latex]
A área é 0, portanto o triangulo é degenerado e então P, Q e R são colineares, que é o que queríamos.

Se vc n entender alguma coisa ou achar um erro falaí
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Mensagem por SilverBladeII Dom 16 Jan 2022, 21:26

Tava tentando resolver essa questão de outras formas pq acho que coordenadas baricentricas não é muito conhecido e deve ter ficado confuso, ent aqui vão outras duas sol.
A primeira usa teorema de Menelaus e a segunda usa só geom. analítica:

1.

Quadrilátero ABCD DRL7rcpg5LgAAAABJRU5ErkJggg==
Novamente, seja R o ponto médio de AC, Q o ponto médio de BD e P o ponto médio de EF. Queremos provar que P, Q e R são colineares.
Observe o triangulo CDF. O ponto E está sobre o prolongamento de DC, o ponto B está sobre o prolongamento de FC e A está sobre o prolongament de FD. Ademais, A, B e E são colineares. Portanto, pelo teorema de Menelaus, 
[latex]\frac{BC}{BF}\cdot\frac{ED}{EC}\cdot\frac{AD}{AF}=1[/latex].

Seja S o ponto médio de CD, T o ponto médio de DF e U o ponto médio de CF.
QS é base média no triangulo BCD, portanto QS//BC. 
ST é base média no triangulo CDF, então ST//CF. Assim, Q, S e T são colineares. Analogamente, podemos descobrir que P, U e T são colineares e R, S e U são colineares, mais ainda, podemos descobrir as seguintes relações:
2*QS=BC, 2*QT=BF;
2*PU=EC, 2*PT=ED;
2*RS=AD, 2*RU=AF;
Mas então,
[latex]\frac{QS}{QT}\cdot\frac{PT}{PU}\cdot\frac{RU}{RS}=\frac{2\cdot QS}{2\cdot QT}\cdot\frac{2\cdot PT}{2\cdot PU}\cdot\frac{2\cdot RU}{2\cdot RS}=\frac{BC}{BF}\cdot\frac{ED}{EC}\cdot\frac{AD}{AF}=1[/latex]
Então, pela recíproca do teorema de menelaus, os pontos P, Q e R são colineares, que é o que queríamos.



2.
Eu vou deixar para você verificar as contas.
Podemos construir, spg, um sistema cartesiano de forma que E=(0, 0) e F=(1, 0)
seja A=(m, n).
Novamente, existem t e s tais que B=tA+(1-t)E=(tm, tn) e D=sA+(1-s)F=(sm-s+1, sn)

Podemos encontrar facilmente a reta suporte de ED, u: sn*x-(sm-s+1)y=0
e a reta suporte de  FB, v: -tn*x+(tm-1)y+tn=0
Sendo C a interseção de u e v, resolvendo o sistema, obtemos 
x=(sm-s+1)t/(s+t-st) e
y=tns/(s+t-st)

P é ponto médio de EF, então P=(1/2, 0)
Q é ponto médio de BD, então Q=1/2*(tm+sm-s+1, tn+sn)
R é ponto médio de AC, então [latex]R=\frac{A+C}{2}=\left(\frac{ms+mt-ts+t}{2(s+t-st)}, \frac{ns+nt}{2(s+t-st)}\right)[/latex]

Então agora basta verficar que os três pontos são colineares. Você pode fazer isso mostrando que o coeficiente linear das retas PQ e QR são iguais, ou mostrando que a área do triangulo PQR é 0 (esse último bem rapidinho usando o determinante que calcula a área dadas as coordenadas do vértice, tipo na primeira solução).

de novo, se vc tiver alguma duvida ou achar um erro falaí
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