Triângulo retângulo

Entre os triângulos retângulos cuja soma dos catetos é uma certa constante, o de menor perímetro é:
(A) Aquele cujos catetos são iguais.
(B) Aquele em que um dos catetos é o dobro do outro.
(C) Aquele em que um dos catetos é o triplo do outro.
(D) Aquele em que um dos catetos é duas vezes e meia o outro.
(E) Aquele em que um dos catetos é uma vez e meia o outro. 

Gabarito: Letra A.

Gostaria de uma boa explicação.

Vou fazer para dois e depois você continua o raciocínio, deve ter uma maneira teórica, mas pensei em fazer assim: (péssimo método)



Em seguida compare todos os perímetros.

Espero ter ajudado!

Imagine um triângulo retângulo de lados a, b e c em que a é a hipotenusa.

Analisando cada alternativa:

a) Para c = b, temos: 2p = a + b + b ---> 2p = a + 2b

b) Para c = 2b, temos: 2p = a' + b + 2b ---> 2p = a + 3b

c) Para c = 3b, temos: 2p = a'' + b + 3b ---> 2p = a + 4b

d) Para c = 2,5b, temos: 2p = a''' + b + 2,5b ---> 2p = a + 3,5b

e) Para c = 1,5b, temos: 2p = a'''' + b + 1,5b ----> 2p = a + 2,5b 

Observação:  a'' > a''' > a' > a'' > a por conta do tamanho dos catetos.

O menor perímetro é 2p = a + 2b

Ou você poderia visualizar a letra a) como sendo: "aquele em que o cateto é uma vez o outro", daí já mataria a questão porque a hipotenusa é a mesma então o menor perímetro é do triângulo que tem os menores lados.

Entre os triângulos retângulos cuja soma dos catetos é uma certa constante, o de menor perímetro é:

Essa pergunta é equivalente a:

Seja x e y os catetos. E temos a condição dada que ---> x + y = k ------> y = k - x ..............(1)

a área do triângulo é ---> S = x.y/2 -----> S = x.(k - x)/2 -----> S = -x²/2 + kx/2

a eq. da área é uma parábola cujo máximo é o vértice; e este ocorre para


________________________________________________________________________

se quiser fazer do modo complicado... esquece essa história de área.

hipotenusa ------> h² = x² + y² -----(1)-----> h² = x² + (k - x)² -----> h² = 2x² - 2kx + k² -----> h = √(2x² - 2kx + k²)
este radicando não tem raízes em x, ou seja, é sempre positivo; o que é compatível com a medida de uma hipotenusa.

o perímetro será ---> p = x + y + h
p = x + k - x + √(2x² - 2kx + k²) -----> p = k + √(2x² - 2kx + k²)

efetuamos a derivada dp/dx e igualamos a zero (isto nos fornece o valor máximo ou mínimo da função). Neste caso, como o denominador da primeira derivada é sempre positivo com concavidade para cima, obteremos o valor mínimo da função bastando igualar o numerador a zero. Adiantando as contas:

castelo_hsi escreveu:Imagine um triângulo retângulo de lados a, b e c em que a é a hipotenusa.

Analisando cada alternativa:

a) Para c = b, temos: 2p = a + b + b ---> 2p = a + 2b

b) Para c = 2b, temos: 2p = a + b + 2b ---> 2p = a + 3b

c) Para c = 3b, temos: 2p = a + b + 3b ---> 2p = a + 4b

d) Para c = 2,5b, temos: 2p = a + b + 2,5b ---> 2p = a + 3,5b

e) Para c = 1,5b, temos: 2p = a + b + 1,5b ----> 2p = a + 2,5b 

O menor perímetro é 2p = a + 2b

Ou você poderia visualizar a letra a) como sendo: "aquele em que o cateto é uma vez o outro", daí já mataria a questão porque a hipotenusa é a mesma então o menor perímetro é do triângulo que tem os menores lados.

Achei que conforme um dos catetos fossem alterados a hipotenusa mudasse de valor.

Medeiros escreveu:

Entre os triângulos retângulos cuja soma dos catetos é uma certa constante, o de menor perímetro é:

Essa pergunta é equivalente a:

Dado o perímetro de um triângulo retângulo, qual aquele que tem maior área?

Seja x e y os catetos. E temos a condição dada que ---> x + y = k ------> y = k - x  ..............(1)

a área do triângulo é ---> S = x.y/2 -----> S = x.(k - x)/2  ----->  S = -x²/2 + kx/2

a eq. da área é uma parábola cujo máximo é o vértice; e este ocorre para

x_V = -b/2a ----->  x_V = (-k/2)/(2.(-1/2))  ----->  x_V = k/2

x = k/2 ----(1)----> y = k - k/2 = k/2
.:. x = y = k/2  ----------> alternativa A

________________________________________________________________________

se quiser fazer do modo complicado... esquece essa história de área.

hipotenusa ------> h² = x² + y²  -----(1)----->  h² = x² + (k - x)²  ----->  h² = 2x² - 2kx + k²  ----->  h = √(2x² - 2kx + k²)
este radicando não tem raízes em x, ou seja, é sempre positivo; o que é compatível com a medida de uma hipotenusa.

o perímetro será ---> p = x + y + h
p = x + k - x + √(2x² - 2kx + k²)  ----->  p = k + √(2x² - 2kx + k²)

efetuamos a derivada dp/dx e igualamos a zero (isto nos fornece o valor máximo ou mínimo da função). Neste caso, como o denominador da primeira derivada é sempre positivo com concavidade para cima, obteremos o valor mínimo da função bastando igualar o numerador a zero. Adiantando as contas:

4x - 2k = 0  ----->  x = k/2  implica no perímetro mínimo (mesmo resultado anterior).

Gostei da primeira resolução. A segunda também é boa, mas não sou familiarizada com derivadas. 
Só uma pergunta: Poderia explicar melhor "Essa pergunta é equivalente a: Dado o perímetro de um triângulo retângulo, qual aquele que tem maior área?". Não é muito intuitivo para mim 

yasminlene escreveu:

castelo_hsi escreveu:Imagine um triângulo retângulo de lados a, b e c em que a é a hipotenusa.

Analisando cada alternativa:

a) Para c = b, temos: 2p = a + b + b ---> 2p = a + 2b

b) Para c = 2b, temos: 2p = a + b + 2b ---> 2p = a + 3b

c) Para c = 3b, temos: 2p = a + b + 3b ---> 2p = a + 4b

d) Para c = 2,5b, temos: 2p = a + b + 2,5b ---> 2p = a + 3,5b

e) Para c = 1,5b, temos: 2p = a + b + 1,5b ----> 2p = a + 2,5b 

O menor perímetro é 2p = a + 2b

Ou você poderia visualizar a letra a) como sendo: "aquele em que o cateto é uma vez o outro", daí já mataria a questão porque a hipotenusa é a mesma então o menor perímetro é do triângulo que tem os menores lados.

Achei que conforme um dos catetos fossem alterados a hipotenusa mudasse de valor.

Muda sim, eu acabei esquecendo desse detalhe mas já arrumei. Obrigado por avisar 

yasminlene

Sejam dois números x, y cuja soma é constante ---> x + y = k ---> y = k - x ---> I

O produto P destes números vale ---> P = x.y ---> II

I em II ---> P = x.(k - x) ---> P = - x² + k.x

Esta função do 2º grau tem por gráfico uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
O valor máximo desta parábola ocorre no seu vértice:

xV = - k/2.(-1) ---> xV = k/2 ---> yV = k - xV ---> yV = k - k/2 ---> yV = k/2

Temos: xV = yV = k/2 --> Temos uma importante conclusão matemática:

Dados dois números, cuja soma é constante, o produto deles será máximo quando eles forem iguais.

Se estes dois números representarem os catetos de um triângulo retângulo, a área desta triângulo vale:

A = x.y/2 ---> A = P/2

Conclusão: dizer que P = x.y é máximo é o mesmo que dizer que a área do triângulo é máxima.

yasminlene escreveu:Gostei da primeira resolução. A segunda também é boa, mas não sou familiarizada com derivadas. 
Só uma pergunta: Poderia explicar melhor "Essa pergunta é equivalente a: Dado o perímetro de um triângulo retângulo, qual aquele que tem maior área?". Não é muito intuitivo para mim :|

Talvez minnha exposição tenha sido muito sintética e por isso não ficou claro. Então vou tentar explicar com outra abordagem e inicialmente chamo atenção para dois fatos que costumam passar despercebidos:
1) perímetro é aquilo que cerca uma área. Portanto quando falamos em perímetro estamos implicitamente associando a ideia de área pois o perímetro o é de uma área;
2) um triângulo retângulo nada mais é do que um retângulo cortado pela sua diagonal. Diagonal essa que vem a ser a hipotenusa. Observação visual e imediata que se pode fazer é que a hipotenusa é maior que o maior lado do retângulo.

Agora vamos pensar na seguinte questão: dada uma área para um retângulo, qual aquele que tem o menor perímetro? Para facilitar nosso raciocínio vamos trabalhar apenas com números naturais; e seja a área S = 16. Podemos, por exemplo, ter os seguintes retângulos:
a) 1 x 16 -----> p = 34
b) 2 x 8 -------> p = 20
c) 4 x 4 -------> p = 16
Já temos, intuitivamente, que o quadrado é quem tem o menor perímetro. Só fica faltando provar isto matematicamente, com contas.

Mas poderíamos pensar ao contrário: dado um perímetro (que cerca uma área retangular, enfatizo), qual formato cerca a maior área? Este caso adequa-se melhor à questão que você trouxe pois nela temos dados do perímetro (a soma dos catetos) e podemos e devemos fazer as contas a partir disso. Foi o que fiz na mensagem anterior: x + y = k ------> y = k - x, .... e segue a resposta anterior.

Tá, até agora falamos em retângulo mas a questão é de triângulo, onde entra a hipotenusa? Observe a seguinte obviedade nos itens alfabéticos acima, em:
a) a diagonal (hipotenusa) é um pouco maior que 16;
b) a hipotenusa é pouco maior que 8;
c) a hipotenusa é maior que 4 mas menor que 6.
Notamos que a hipotenusa fica menor a medida em que o retângulo aproxima-se de um quadrado, sendo este a menor diagonal de todas. Portanto, para o perímetro do triângulo retângulo, não precisamos realmente nos preocupar com medir e considerar a hipotenusa pois esta encolhe a medida em que os catetos aproximam-se da igualdade, i.e., se tivermos o menor perímetro com base nos catetos teremos também a menor hipotenusa; logo a soma cateto+cateto+hipotenusa será a menor.

__________________________________________________ bem, espero que isto atenda ao seu pedido para explicar melhor. Agora você deve voltar na minha resposta anterior.

Realmente a primeira resolução requer mais elasticidade mental. A segunda, com derivadas, é banal e ortodoxa; burocraticamente eu somei os catetos e a hipotenusa (calculada a partir deles) para achar o perímetro e apliquei derivada para obtê-lo mínimo. Se não me engano, derivadas é assunto visto no último ano do ensino médio e você não precisa se preocupar se ainda não sabe -- a primeira resolução é muito mais elegante (eu acho).