Funções
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Funções
por victor cruz mt Ter 30 Nov 2021, 16:01
Seja f:ℝ→ℝ, não identicamente nula, tal que f(x)*f(x)=[f(x+y)+f(x-y)]/2, para todos os números reais x e y:
a) Mostre que f(0)=1=1, f(2)=-1, f(3)=0 e f(4)=1.
b) Mostre que f(x+4)=f(x), para todo x real.
Obs.: Eu consegui provar que f(0)=1 fazendo f(0)*f(0)=f(0), então f(0)= 0 ou 1, mas se f(0)=0, então f(n)=0, para todo n real, então f(0) só pode ser 1. Mas, eu não consegui fazer a prova para os outros Fs pedidos.
a) Mostre que f(0)=1=1, f(2)=-1, f(3)=0 e f(4)=1.
b) Mostre que f(x+4)=f(x), para todo x real.
Obs.: Eu consegui provar que f(0)=1 fazendo f(0)*f(0)=f(0), então f(0)= 0 ou 1, mas se f(0)=0, então f(n)=0, para todo n real, então f(0) só pode ser 1. Mas, eu não consegui fazer a prova para os outros Fs pedidos.
victor cruz mt- Recebeu o sabre de luz
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Re: Funções
por joaoZacharias Qua 01 Dez 2021, 10:25
Oi victor cruz mt;
Suponho que este exercício tenha sido mal elaborado ou o gabarito está incorreto. Se fizermos y = 0 e mantivermos x uma variável genérica teremos:
[latex] \text{[}f(x)\text{]}^2 = \frac{2f(x)}{2} \implies f(x)\text{[}f(x)-1\text{]}=0 \implies \forall x \text{ } |x \in \mathbb{R}, \text{ } f(x) = 1[/latex]
Assim f(x) seria uma função constante. De fato, por ser constante f(x+4) = f(x). Mas as atribuições de f(x) para x=2 e x=3 seriam incondizentes com as informadas no gabarito.
Bons estudos
Suponho que este exercício tenha sido mal elaborado ou o gabarito está incorreto. Se fizermos y = 0 e mantivermos x uma variável genérica teremos:
[latex] \text{[}f(x)\text{]}^2 = \frac{2f(x)}{2} \implies f(x)\text{[}f(x)-1\text{]}=0 \implies \forall x \text{ } |x \in \mathbb{R}, \text{ } f(x) = 1[/latex]
Assim f(x) seria uma função constante. De fato, por ser constante f(x+4) = f(x). Mas as atribuições de f(x) para x=2 e x=3 seriam incondizentes com as informadas no gabarito.
Bons estudos
joaoZacharias- Recebeu o sabre de luz
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Re: Funções
por victor cruz mt Qui 02 Dez 2021, 15:21
Ah, parece que eu digitei errado. Ao invés de ser f(x)*f(x), o correto é f(x)*f(y) na primeira parte. Desculpa pelo erro.
victor cruz mt- Recebeu o sabre de luz
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