Integrais Triplas - Coordenadas Esféricas
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Integrais Triplas - Coordenadas Esféricas
por Gabriela Reinoso Sex 19 Nov 2021, 23:15
Encontre o volume do sólido limitado por z = √x²+y² , z = √3x²+3y² e z=3, por meio de coordenadas esféricas.
Resposta: 6π
Resposta: 6π
Gabriela Reinoso- Iniciante
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Re: Integrais Triplas - Coordenadas Esféricas
por Giovana Martins Ter 07 Dez 2021, 14:58
A partir de um breve esboço nota-se que teremos um cone no interior de outro cone ambos limitados pelo plano z=3.
Para z = √(x²+y²), tem-se: 0 ≤ θ ≤ 2∏, 0 ≤ Φ ≤ ∏/4, 0 ≤ ρ ≤ 3sec(Φ), logo:
Para z = √(3x²+3y²), tem-se: 0 ≤ θ ≤ 2∏, 0 ≤ Φ ≤ ∏/6, 0 ≤ ρ ≤ 3sec(Φ), logo:
[latex]\\\mathrm{V_1=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\int_{0}^{3sec(\phi )}\rho ^2sin(\phi )d\rho d\phi d\theta =9\pi }\\\\\mathrm{V_2=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\int_{0}^{3sec(\phi )}\rho ^2sin(\phi )d\rho d\phi d\theta =3\pi }\\\\\mathrm{V=V_1-V_2\to V=9\pi -3\pi \ \therefore \ \boxed {\mathrm{V=6\pi }}}[/latex]
Penso que seja isso. Encurtei vários cálculos, pois digitei pelo celular.
Para z = √(x²+y²), tem-se: 0 ≤ θ ≤ 2∏, 0 ≤ Φ ≤ ∏/4, 0 ≤ ρ ≤ 3sec(Φ), logo:
Para z = √(3x²+3y²), tem-se: 0 ≤ θ ≤ 2∏, 0 ≤ Φ ≤ ∏/6, 0 ≤ ρ ≤ 3sec(Φ), logo:
[latex]\\\mathrm{V_1=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\int_{0}^{3sec(\phi )}\rho ^2sin(\phi )d\rho d\phi d\theta =9\pi }\\\\\mathrm{V_2=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\int_{0}^{3sec(\phi )}\rho ^2sin(\phi )d\rho d\phi d\theta =3\pi }\\\\\mathrm{V=V_1-V_2\to V=9\pi -3\pi \ \therefore \ \boxed {\mathrm{V=6\pi }}}[/latex]
Penso que seja isso. Encurtei vários cálculos, pois digitei pelo celular.
Giovana Martins- Grande Mestre
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