(UFRJ) Assunto: Geometria Analítica

por LUCAS YP Dom 24 Out 2021, 11:55

Sejam M1=(1,2), M2=(3,4) e M3(1,-1) os pontos médios dos lados de um triângulo. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.

por **Elcioschin** Dom 24 Out 2021, 12:54

Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) os vértices do triângulo, tal que:

M1(1, 2) é ponto médio de AB, M2(3, 4) de BC e M3(1, -1) de CA

xM1 = (xA + xB)/2 ---> 1 = (xA + xB)/2 ---> xA + xB = 2
yM1 = (yA + yB)/2 ---> 2 = (yA + yB)/2 ---> yA + yB = 4

Faça similar para M2 e M3 e resolva o sistema de equações obtido.

por **qedpetrich** Dom 24 Out 2021, 12:58

Olá Lucas;

Basicamente podemos formar vários sistemas, o ponto médio de um segmento no plano cartesiano pode ser divido entre as componentes verticais e horizontais, por exemplo, para um ponto P(x , y) e P'(x' , y'):

$(UFRJ) Assunto: Geometria Analítica Png$

Aplicando o que foi exposto, temos que:

$(UFRJ) Assunto: Geometria Analítica Png.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x_1%20+%20x_2%20%3D%202%20%26%20%26%20%5C%5C%20x_2%20+%20x_3%20%3D%206%20%26%20%26%20%5C%5C%20x_1+x_3%20%3D%202%20%26%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20e%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20y_1%20+%20y_2%20%3D%204%20%26%20%26%20%5C%5C%20y_2%20+%20y_3%20%3D%208%26%20%26%20%5C%5C%20%5C%20y_1+y_3%20%3D%20-2%20%26%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Resolvendo o sistema para x, fazendo a primeira equação, menos a segunda, por fim, somado com a terceira:

$(UFRJ) Assunto: Geometria Analítica Png$

Voltando e resolvendo para qualquer uma das duas, podemos determinar as outras duas abscissas, logo:

$(UFRJ) Assunto: Geometria Analítica Png$

$(UFRJ) Assunto: Geometria Analítica Png$

Faça análogo para o sistema que envolve as ordenadas. Espero ter ajudado!

[EDIT]: Ops, o Elcio já respondeu, fica como reforço a ideia. Abraços!