Triângulo de Pascal
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Triângulo de Pascal
por Joaomarcosazevedo Qua 20 Out 2021, 11:46
Determine [latex]k\in \mathbb{Z}[/latex] que satisfaz a equação:
[latex]\binom{1999}{2k-1}+\binom{1999}{1999-2k}=\binom{2000}{2k-2000}[/latex]
[latex]\binom{1999}{2k-1}+\binom{1999}{1999-2k}=\binom{2000}{2k-2000}[/latex]
Joaomarcosazevedo- Iniciante
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Re: Triângulo de Pascal
por MessiasCastro Ter 16 Nov 2021, 15:52
Veja que:
[latex]\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}[/latex]
[latex]\binom{n}{p-1} = \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p}[/latex]
Com isso,
[latex]\binom{1999}{2k-1} + \binom{1999}{1999-2k} = \binom{2000}{2k-2000}[/latex]
[latex]\binom{1999}{2k-1} + \binom{1999}{2k} = \binom{2000}{2k-2000}[/latex]
[latex]\binom{2000}{2k} = \binom{2000}{2k-2000}[/latex]
Daí, 2k = 2k - 2000 ou 2k = 2000 - (2k - 2000).
*2k = 2k - 2000 ⇒ 2000 = 0 (ABS!!)
Portanto,
2k = 2000 - (2k - 2000)
2k = 4000 - 2k
4k = 4000 ⇒ k = 1000
[latex]\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}[/latex]
[latex]\binom{n}{p-1} = \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p}[/latex]
Com isso,
[latex]\binom{1999}{2k-1} + \binom{1999}{1999-2k} = \binom{2000}{2k-2000}[/latex]
[latex]\binom{1999}{2k-1} + \binom{1999}{2k} = \binom{2000}{2k-2000}[/latex]
[latex]\binom{2000}{2k} = \binom{2000}{2k-2000}[/latex]
Daí, 2k = 2k - 2000 ou 2k = 2000 - (2k - 2000).
*2k = 2k - 2000 ⇒ 2000 = 0 (ABS!!)
Portanto,
2k = 2000 - (2k - 2000)
2k = 4000 - 2k
4k = 4000 ⇒ k = 1000
MessiasCastro- Iniciante
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