Centroide

Encontre o centroide e as reações A e B do objeto abaixo confeccionado a partir de uma chapa de espessura de 1 polegada e peso específico de 0,28 lb/in³.

Olá Pedro!  

Veja que se preenchermos o retângulo vazio, o centroide passa a ser o de uma semicircunferência:



Além disso, esses são os centroides do retângulo e da semicircunferência:


Calculando o valor dos centroides e das massas:

[latex]\\\bullet \;\left\{\begin{matrix} C_{sx} = 0\\ C_{sy}=\frac{4R}{3\pi}=\frac{4\cdot 38}{3\pi} \cong 16,13 \end{matrix}\right.\\\\ \bullet \;\left\{\begin{matrix} C_{rx}=-\frac{b}{2}=-10 \\ C_{ry} = \frac{h}{2}=8 \end{matrix}\right.\\\\ \bullet m_s=A_s.e.P_{esp}=\left (\frac{\pi\cdot 38^2}{2}\;\cancel{in^2}\right )\cdot(1\;\cancel{in})\cdot\left (0,28\;\frac{lb}{\cancel{in^3}}\right )\\\\ \rightarrow m_s = 635,1\;lb\\\\ \bullet m_r=A_r.e.P_{esp}=\left (20\cdot 16\;\cancel{in^2}\right )\cdot(1\;\cancel{in})\cdot\left (0,28\;\frac{lb}{\cancel{in^3}}\right )\\\\ \rightarrow m_r = 89,6\;lb[/latex]

Podemos montar ainda as seguintes equações para a posição do centroide em x e em y:

[latex]\\\left\{\begin{matrix}C_{sx}=\frac{(m_s-m_r)C_{x}+m_rC_{rx}}{m_s}\\C_{sy}=\frac{(m_s-m_r)C_{y}+m_rC_{ry}}{m_s}\end{matrix}\right. \rightarrow\;\left\{\begin{matrix}C_{x}=\frac{m_sC_{sx}-m_rC_{rx}}{m_s-m_r}\\ C_{y}=\frac{m_sC_{sy}-m_rC_{ry}}{m_s-m_r}\end{matrix}\right.[/latex]

Substituindo os valores calculados, encontraremos o centroide do objeto:

[latex]\\\left\{\begin{matrix}C_{x}=\frac{-(89,6\;lb)(-10)}{(545,5\;lb)}\\ C_{y}=\frac{(635,1\;lb)(16,13)-(89,6\;lb)(8 )}{(545,5\;lb)}\end{matrix}\right.\\\\ \rightarrow\;\boxed{C_x = 1,64\;\;e\;\;C_y=17,47}[/latex]

Agora vamos encontrar as reações, usando o fato de que o objeto está em equilíbrio:

[latex]\\\bullet P_o=(ms-mr) = 545,5\;lbf\\\\ \bullet\sum F_y=0:\\\\ F_a+F_b = P_o = 545,5\;lbf\\\\ \bullet\sum M_A=0:\\\\ (38+C_x)\cdot P_o=2\cdot 38\cdot F_b\\\\ \rightarrow\;\boxed{Fb= 284,52\;\;lbf\left ( \uparrow\right )\;\;e\;\;Fa= 260,98\;\;lbf\left ( \uparrow\right )} [/latex]