Questão Funções

Considere a função abaixo de domínio e contradomínio sendo os números naturais.

f(0)=1
f(1)=1
f(2x)=f(x) , x≥1
f(2x+1)=x² , x≥1

Seja ainda, a função g, também de domínio e contradomínio naturais definida por g(x) =  f(x).f(x+1). 


a) (Valor 0,7) Obtenha o valor de g(n).
b) (Valor 1,0) Verifique, de forma justificada, se f é bijetora.

n=22

a)
f(0) = 1
f(1) = 1
f(2) = f(1) = 1
f(3) = 1
f(4) = f(2) = 1
f(5) = 2² = 4
f(6) = f(3) = 1
f(7) = 3² = 9
f( = f(4) = 1
f(9) = 4² = 16

Nota-se que f(par) = 1 e f(ímpar) = ((ímpar - 1)/2)².


g(0) = f(0)*f(1) = 1*1 = 1
g(1) = f(1)*f(2) = 1*f(1) = 1

g(n) = f(n)*f(n+1)
Se n > 1 for par, então g(n) = f(n)*f(n+1) = 1*((n+1-1)/2)² = n²/4
Se n > 1 for ímpar, g(n) = f(n)*f(n+1) = ((n-1)/2)²*1 = (n-1)²/4

b) É imediato que f não é bijetora, pois não é injetora. De fato, existe a = 2 e b = 1, tal que a ≠ b, mas f(a) = f(b) = 1. Logo, não é injetora e nem bijetora.
Note que g também não é bijetora pelo mesmo motivo. Basta tomar a = 0 e b =1, ambos resultando em g = 1.