Geometria Analítica

1. Considere os vértices A = (−1,0), B = (4,1) e C = (1,3) do paralelogramo ABCD (dispostos de forma contínua e no sentido anti-horário). Seja E um ponto tal que [latex]\underset{BE}{\rightarrow}[/latex]  é um múltiplo de [latex]\underset{BC}{\rightarrow}[/latex] e [latex]\underset{DE}{\rightarrow}[/latex] é perpendicular a [latex]\underset{BC}{\rightarrow}[/latex].

(a) Determine as coordenadas do ponto D.
(b) Determine as coordenadas do ponto E.
(c) Determine a área do triângulo ABE.
(d) Utilizando um sistema de eixos coordenados, faça um esboço do paralelogramo ABCD e do triângulo ABE indicando todos os seus vértices.

Olá Alex;

Bom, partindo de que se trata de um paralelogramo, temos que AB // CD, assim como, BC // AD, portanto, o coeficiente angular de mAB = mCD, e o coeficiente angular de mBC = mAD, calculando as respectivas retas:








Veja que para determinar o ponto D, fazemos o encontro (intersecção) das retas AD e CD, temos:




Pronto, com a abscissa de D, voltando em qualquer uma das duas retas podemos determinar yD:



O enunciado fala da seguinte maneira: Seja E um ponto tal que   é um múltiplo de  e  é perpendicular a . Isso significa que BE é um múltiplo de BC então deve existir um λ∈ℝ. Já, DE como explicitado perpendicular a BC. Desenvolvendo:



Como BE é múltiplo de BC, então  o ponto E se encontra na reta BC, logo:



Voltando em uma das duas retas, podemos determinar o ponto yE:



Calculando a área do triângulo, pelo determinante matricial:










Por fim, a configuração fica disposta da seguinte maneira, com as retas auxiliares e os devidos pontos:



Por favor confira meus cálculos, foi extenso, então posso ter negligênciado alguma passagem. Espero ter ajudado!