Raiz dentro de Raiz

por Jvictors021 Sáb 07 Ago 2021, 14:04

Bom pessoal tenho essa dúvida a um bom tempo e nunca consegui sana-la
irei dar o exemplo da expressão que representa sen 15°:
pela fórmula do arco metade: [latex]\sqrt{1 - cos} /2[/latex]
[latex]\frac{\sqrt{1 - \sqrt{3/2}}}{2} --->\frac{ \sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/latex]

E Fazendo por soma/subtração de arcos chego em: [latex]\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}[/latex]

Como eu faço para a primeira expresão ficar igual a segunda ???

Raiz dentro de Raiz Img101

por **Medeiros** Sáb 07 Ago 2021, 15:19

por Jvictors021 Sáb 07 Ago 2021, 16:26

Medeiros escreveu:

Olá Medeiros, Entendi a primeira parte com muita clareza, entretanto a segunda, me embolei um pouco para entender... poderia me detalhar mais o procedimento por gentileza ?? Um Abraço!!

por **Elcioschin** Sáb 07 Ago 2021, 18:14

√(A ± √B) = √x ± √y ---> Elevando ao quadrado:

A ± √B = x + y ± 2.√(x.y) ---> A ± √B = x + y ± √(4.x.y)

Igualando termo a termo:

x + y = A ---> y = A - x ---> I

B = 4.x.y ---> II

I em II ---> B = 4.x.(A - x) ---> 4.x² - 4.A.x + B = 0

Resolvendo ---> x = [A ± √(A² - B)]/2

Teremos então: x = [A + √(A² - B)]/2 e y = [A - √(A² - B)]/2

Esta transformação só é interessante se A² - B for um quadrado perfeito.

Na sua questão temos (2 ± √3)/2 --> A = 2 , B = 3 --> A² - B = 1 --> OK

por **Medeiros** Sáb 07 Ago 2021, 19:45

olá, Victor.

o Élcio já detalhou esse procedimento. O que fiz foi uma aplicação dele.

Substituí a raiz pelo que está dentro dos colchetes. Siga as cores, elas indicam o quê veio de onde.

por Jvictors021 Qua 11 Ago 2021, 16:30

Elcioschin escreveu:√(A ± √B) = √x ± √y ---> Elevando ao quadrado:

A ± √B = x + y ± 2.√(x.y) ---> A ± √B = x + y ± √(4.x.y)

Igualando termo a termo:

x + y = A ---> y = A - x ---> I

B = 4.x.y ---> II

I em II ---> B = 4.x.(A - x) ---> 4.x² - 4.A.x - B = 0

Resolvendo ---> x = [A ± √(A² - B)]/2

Teremos então: x = [A + √(A² - B)]/2 e y = [A - √(A² - B)]/2

Esta transformação só é interessante se A² - B for um quadrado perfeito.

Na sua questão temos (2 ± √3)/2 --> A = 2 , B = 3 --> A² - B = 1 --> OK

Olá Elcio e Medeiros estou tentando entender a relção proposta por vocês a alguns dias, mas ainda há uma dúvida.

A relação proposta é: (A + √B) = (A + √A² - B) ???

OU SEJA COM EXEMPLOS NÚMERICOS √3 = 4 - 3 = 1 ?

por **Elcioschin** Qua 11 Ago 2021, 18:01

Não.

√(A - √B) = √x - √y

x = [A + √(A² - B)]/2 ---> y = [A - √(A² - B)]/2

Para √(2 - √3) -->A = 2 e B = 3 --> A² - B = 1 --> quadrado perfeito --> OK

x = (2 + 1)/2 --> x = 3/2 --> x = 6/4 --> x = √6/2
y = (2 - 1)/2 ---> y = 1/2 --> y = 2/4 --> y = √2/2

√(2 - √3) = √6/2 - √2/2 --> √(2 - √3) = (√6 - √2)/2