Equações Algébricas

Olá! Não estou conseguindo encontrar as raízes ..
Uma ajuda no item a) será de grande valia.

(Fuvest- Não sei ano) A equação tem uma raiz inteira r e duas imaginárias s e t.

a) Determine as raízes r, s e t.
b) Escreva a equação cujas raízes são 1/r, 1/t e 1/s.
c) Determine a equação cujas raízes são st, rs e rt.


Obrigado!

x³ - 2x² - x + 14 = 0

a) Pesquisa de raízes racionais (divisores inteiros de 14): - 14, -7, -2, -1 +1, +2, +7, +14

Testando ---> r = -2 é uma raiz

Briott-Ruffini

__|1 ... - 2 ... - 1 ... 14
-2|1 ... -4 ...... 7 ..... 0


b) Demais raízes ---->
x² - 4x + 7 = 0 ---> Discriminante: D = (-4)² - 4*1*7 ----> D = -12

x = (4 + - i*2*\/3)/2*1 ----> s = 2 + i*\/3 ---> t = 2 - i*\/3


1/r = 1/-2 ----> 1/r = -1/2

1/s = 1/(2 + i*\/3) ----> 1/s = (2 - i*\/3)/(4 + 3) ----> 1/s = 2/7 - i*\/3/7

1/t = 1/(2 - i*\/3) -----> 1/t = (2 + i*\/3)/(4 + 3) ----> 1/t = 2/7 - i*\/3/7


Relações de Girard

1/r + 1/s + 1/t = - b/a ----> - 1/2 + (2/7 - i*\/3/7) + (2 + i*\/3/7) = -b/a ----> - b/a = 1/14 ---> b = - a/14 ----> I

(1/r)*(1/s) + (1/r)*(1/t) + (1/s)*(1/t = c/a ----> (-1/2)*(2/7 - i*\/3/7) + (-1/2)*(2/7 + i*\/3/7) + (2/7 + i*\/3/7)*(2/7 - i*\/3/7)

Faça contas e calcule c/a

(1/r)*1/s)*(1/t) = - d/a ---> Calcule d/a


c) Faça o mesmo para as raízes st, rs, e rt

Obrigado!
Não tinha entendido direito o Teorema das raízes racionais, aí não deu para fazer...

Encontrei um jeito mais rápido para fazer os itens b) e c) :

b) Façamos uma equação transformada com a seguinte lei: y=1/x, logo x=1/y. Daí:



Desenvolvendo...

A equação será:

c) st, rs e rt podem ser escritos rst/r, rst/t e rts/s. Pelas Relações de Girard.. rst=-14. Farei o mesmo que no item anterior com a transformada g=-14/x, que também satisfaz x=-14/g. Aí..


E a equação: