Lado do Quadrado

Seja ABCD um quadrado tal que o segmento QR seja perpendicular ao segmento PC, onde o S é o ponto de intersecção entre esses dois segmento, AQ = 2AB/3 e RD = AD/4, conforme a figura abaixo. Sabendo que a área do triângulo RPS é 529/145 m², quanto vale o lado do quadrado?



a. 5 m
b. 6 m
c. 7 m
d. 8 m
e. 9 m

Gabarito:

Equação da reta que passa por R e Q:

[latex]\displaystyle y=\left(\frac{l}{4}\right)\cdot\frac{3}{2l}\cdot x + \frac{l}{4} \Rightarrow y=\frac{9x}{8}+\frac{l}{4}[/latex]


Aplicando a condição de perpendicularidade para a reta que passa por P e C:

[latex]\\\displaystyle y=-\left(\frac{x}{a}\right)+b\Rightarrow y=-\frac{8x}{9}+b\\\\\\y(l) =0 \Rightarrow 0 = -\frac{8l}{9}+b \Rightarrow b = \frac{8l}{9}\\\\\\y=-\left(\frac{8x}{9}\right)+ \frac{8l}{9}[/latex]


Dessa última, encontramos a coordenada Y do ponto P: 8L/9. Igualando as duas, podemos achar as coordenadas de S:

[latex]\\-\frac{8x}{9}+ \frac{8l}{9}=\frac{9x}{8}+ \frac{l}{4} \Rightarrow x=\frac{46l}{145}\Rightarrow y=\frac{88l}{145}[/latex]


Por fim, basta calcular a área do triângulo RPS:

[latex]\displaystyle 2\cdot\frac{529}{145} = \displaystyle\begin{vmatrix} 0 & l/4& 1\\ 46l/145 & 88l/145& 1\\ 0 & 8l/9 & 1 \end{vmatrix} \Rightarrow\frac{529l^2}{2610}-\frac{1058}{145} = 0\Rightarrow\\\\\\ \Rightarrow l = 6, l = -6[/latex]


Como l > 0, temos a resposta positiva, ou seja,

[latex]\boxed{l = 6}[/latex]

Muito obrigado mesmo Skyandee.