Simulado Poliedro 2021 - Análise combinatória

A fim de promover a integração socioeducativa dos seus alunos ao ambiente escolar, um colégio reserva uma semana no início do ano letivo para desenvolver atividades culturais e esportivas extracurriculares. Para participar de uma dessas atividades, um grupo de 12 alunos deve formar 3 equipes com 4 alunos cada. A quantidade de maneiras distintas de se formar um conjunto de 3 equipes com esses alunos é dada por
A) 12! / 3!(4!)³
B) 12! / (4!)³
C) 12! / 3!
D) 12! / 4!(3!)^4
E) 12! / (4!)^4  

Gab:

Alguém poderia explicar, por favor, o porquê de não ser a letra B?

Sejam os alunos indicados pelas letras A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L:

Podemos organizá-los em três grupos de quatro pessoas da seguinte forma:

[latex]\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}[/latex]

Porém,devemos levar em conta as repetições criadas pela contagem dos mesmos grupos em ordens diferentes. Por exemplo:

Tome o seguinte resultado na formação dos grupos:

Grupo 1 = {A,B,C,D}
Grupo 2 = {E,F,G,H}
Grupo 3 = {I,J,K,L}

Nada impede que os mesmos grupos sejam formados pela escolha dos elementos em ordem diferente,como:

Grupo 1 = {E,F,G,H}
Grupo 2 = {A,B,C,D}
Grupo 3 = {I,J,K,L}

Veja que os grupos 1 e 2 foram invertidos,mas a configuração é a mesma da primeira. Como a questão não estabeleceu nenhuma distinção entre esses grupos,faz-se necessário dividir o resultado obtido anteriormente para que sejam eliminadas essas redundâncias.

Dessa forma,devemos realizar a divisão por 3! para que não tenhamos a contagem dos mesmos grupos em ordens diferentes.

[latex]\frac{\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}}{3!}[/latex]


Desenvolvendo a expressão acima,obtemos:

[latex]\frac{12!}{(4!)^^{3}3!}[/latex]

Compreendi!! Então, em um outro exercício similar a esse com formações de grupos, comissões, bancadas de pessoas de forma indistinta, eu preciso dividir sempre a combinação pelo fatorial do número desses conjuntos?

Sempre é uma palavra muito forte,ainda mais em Análise Combinatória,rs.

Mas,em um exercício similar,é aplicável esse raciocínio. Porém,é bom tomar cuidado.

Suponha que essa mesma questão estabelecesse a seguinte condição:Uma equipe fica na sala A,a outra na B e a outra na C.

Veja que essa única passagem muda o escopo da questão. Caso o grupo 1 e o grupo 2 fossem invertidos,conforme fiz na mensagem anterior,seria uma configuração totalmente diferente,uma vez que eles ocupariam salas diferentes.

Portanto,cabe a você analisar o contexto da questão. Como trabalhamos,nesse caso,com grupos indistintos,dividi por 3! pois representa as combinações que podem ser feitas entre os três grupos.

Entendiii!! Muito obrigado!!! ((: