reta tangente a circunferência

Considere a circunferência que passa pelos pontos (0,0), (0,6) e (4,0) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0,6) e (4,0) pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que passa pelo ponto (3,-2), tem por equação

[A] 3x-2y-13=0
[B] 2x-3y-12=0
[C] 2x-y-8=0
[D] x-5y-13=0
[E] 8x+3y-18=0

Deve ter um jeito mais fácil de fazer, mas tá aí como eu fiz .

O diâmetro da circunferência é dado pela distância entre os pontos (0,6) e (4,0):


[latex]D^2= 6^2+4^2 \implies D^2 = 36+16\implies D = 2\sqrt{13}[/latex]



Logo o raio é [latex]\sqrt{13}[/latex]. Temos 3 equações:






[latex]\begin{cases} x_c^2+y_c^2 = 13\\~\\ x_c^2+(6-y_c)^2=13\\~\\ (4-x_c)^2+y_c^2 = 13 \end{cases}[/latex]





Achando [latex] x_c [/latex] e [latex] y_c[/latex]:


[latex]\begin{align*} x_c^2+(6-y_c)^2=13\\~\\ x_c^2 +36-12y_c+y_c^2 = 13\\~\\ (x_c^2+y_c^2) -12y_c = 13-36\\~\\ 13-12y_c = 13-36\\~\\ y_c = 3 \end{align*}[/latex]



[latex]\begin{align*} (4-x_c)^2+y_c^2 = 13\\~\\ 16-8x_c +x_c^2+y_c^2=13\\~\\ x_c = 2 \end{align*}[/latex]


Seja y = ax+b a reta tantgente. Ela passa pelo ponto (3,-2), logo -2 = 3a+b -> b= -2-3a. Nossa reta fica y= ax-2-3a. Jogando na circunferência:


[latex]\begin{align*} (x - x_c)^2 +(y-y_c)^2 = 13\\~\\ (x-2)^2 +( ax-2-3a-3)^2 = 13 \\~\\ x^2-4x+4+a^2x^2-2\cdot ax\cdot(3a+5)+(3a+5)^2-13=0\\~\\ (1+a^2)x^2-4x-2\cdot(3a^2+5a)x+9a^2+30a+25-9=0\\~\\ (1+a^2)x^2-(4+6a^2+10a)x+9a^2+30a+16=0 \end{align*}[/latex]



Essa equação só tem uma solução (reta é tangente):




[latex]\begin{align*} \Delta = 0 \\~\\ (4+6a^2+10a)^2 -4\cdot(1+a^2)\cdot(9a^2+30a+16)=0\\~\\ (3a^2+5a+2)^2-(1+a^2)\cdot(9a^2+30a+16)=0\\~\\ 9a^4+2\cdot3a^2\cdot(5a+2)+(5a+2)^2-9a^2-30a-16-9a^4-30a^3-16a^2=0\\~\\ +2\cdot3a^2\cdot(5a+2)+(5a+2)^2-30a^3-25a^2-30a-16=0\\~\\ 6a^2\cdot(5a+2)+(5a+2 -5a)(5a+2+5a) -30a^3-30a-16=0\\~\\ 30a^3+12a^2+2\cdot(10a+2) -30a^3-30a-16 =0\\~\\ 12a^2+2\cdot(10a+2)-30a-16 =0\\~\\ 12a^2+20a+4-30a-16= 0 \\~\\ 12a^2-10a-12=0\\~\\ 6a^2-5a-6=0\\~\\ a = \dfrac{3}{2} \text{ ou } a = -\dfrac{2}{3} \end{align*}[/latex]



Então nossas retas são [latex] y= \dfrac{3x-13}{2} \implies 2y-3x+13=0[/latex] ou [latex] 3y+2x=0[/latex].

(x - xo)² + (y - yo)² = R²

(0, 0) ---> xo² + yo² = R² ---> I

(0, 6) --> (0 - xo)² + (6 - yo)² = R² --> xo² + yo² - 12.yo + 36 = R² --> II

I em II---> R² - 12.yo + 36 = R² ---> yo = 3

(4, 0) --> (4 - xo)² + (0 - yo)² = R² ---> xo² + yo² - 8.xo + 16 = R² ---> III

I em III ---> R² - 8.xo + 16 = R² ---> xo = 3 ---> C(2, 3)

Calcule R² e monte a equação da circunferência.

Equação da reta ---> y - (-2) = m.(x - 3) ---> y = m.x - 3.m - 2 ---> IV

Substitua y na equação da circunferência e chegue numa equação do 2º grau

Para as retas serem tangentes ---> ∆ = 0 

Se garante!