(Bulgária)Triângulo
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(Bulgária)Triângulo
por LARA01 Qua 14 Jul 2021, 19:54
Os comprimentos das alturas do triângulo ABC são as soluções da equação cúbica x³ + kx² + l x + m=0. Então o raio do circulo inscrito no triângulo ABC é igual a:
a)k/m
b)-l/k
c)-l/m
d)m/k
e)-m/l
s/r
a)k/m
b)-l/k
c)-l/m
d)m/k
e)-m/l
s/r
LARA01- Padawan
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Re: (Bulgária)Triângulo
por SilverBladeII Qua 14 Jul 2021, 20:20
Se A é a área do triangulo e a, b, c são os lados, temos
h1=2A/a
h2=2A/b
h3=2A/c.
Pelas formulas de Viete, temos
1) h1*h2+h1*h3+h2*h3=l
e
2) h1*h2*h3=-m.
Portanto
1) 4A²/(ab)+4A²/(ac)+4A²/(bc)=l ⇒ 4A²(a+b+c)=l*abc
2) 8A³/(abc)=-m ⇒ 8A³=-m*abc
Ora, A=(a+b+c)*r/2, onde r é o raio desejado, portanto
1) (a+b+c)³*r²=l*abc
2) (a+b+c)³*r³=-m*abc
de onde tiramos que r=-m/l
h1=2A/a
h2=2A/b
h3=2A/c.
Pelas formulas de Viete, temos
1) h1*h2+h1*h3+h2*h3=l
e
2) h1*h2*h3=-m.
Portanto
1) 4A²/(ab)+4A²/(ac)+4A²/(bc)=l ⇒ 4A²(a+b+c)=l*abc
2) 8A³/(abc)=-m ⇒ 8A³=-m*abc
Ora, A=(a+b+c)*r/2, onde r é o raio desejado, portanto
1) (a+b+c)³*r²=l*abc
2) (a+b+c)³*r³=-m*abc
de onde tiramos que r=-m/l
SilverBladeII- Matador
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