Condição de matriz inversa (SEM DETERMINANTES)

por Gi0rdan0 Sáb 03 Jul 2021, 13:45

Sejam J_n a matriz quadrada n × n cujas entradas são todas 1, e A = I_n + αJ_n, com α ∈ R. Determine para que valores de α a matriz A é invertível e determine A⁻¹ nesses casos.

Condição de matriz inversa (SEM DETERMINANTES) Conta10

Note que, nessa situação, não é permitida a utilização de determinantes para a realização da questão.
Não consegui encontrar, ao aplicar Gauss-Jordan, uma forma de desenvolver um padrão que possa informar um procedimento a ser seguido para definição da inversa e, muito menos, como definir essa inversa para qualquer n que seja.
Agradeço previamente a ajuda.

por **SilverBladeII** Sáb 03 Jul 2021, 16:50

Verifique que J²=n*J.
Assim, se a é diferenete de -1/n,
[latex]\begin{align*}
(I+aJ)\cdot\left(I-\frac{a}{1+an}J\right)&=I-\frac{a}{1+an}J+aJ-\frac{a^2}{1+an}J^2\\
&=I-\frac{a}{1+an}J+aJ-\frac{na^2}{1+an}J\\
&=I-aJ+aJ\\
&=I
\end{align*}[/latex]

se a=-1/n, temos
I-(1/n)J=(1/n)(nI-J)=(1/n)*S
Se somarmos todas as linhas de S na primeira linha, a primeira linha zera, portanto o det de S é 0.

Assim, a matriz é invertivel para todo a diferente de -1/n

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