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Trigonometria no triângulo retângulo

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Trigonometria no triângulo retângulo Empty Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem por monica_geller Qua 30 Jun 2021, 13:49

Para todo par de números positivos a e b, pode-se considerar um triângulo retângulo cujos catetos medem a e b.

Sendo r a medida da hipotenusa desse triângulo e sabendo que r² = a² + b²

Com essas condições, existe em todos os casos um número real α, tal que a = r · sen α e b = r · cos α.

Considerando ainda a identidade sen α · cos β + sen β · cos α = sen(α + β), é possível obter os valores máximo e mínimo da expressão trigonométrica a·cos x + b·sen x, em que x é uma variável real.

Qual é o valor máximo de 3 · cos x + 4 · sen x, com x∈ℝ?


Trigonometria no triângulo retângulo 62263


Resposta= 5

Alguém poderia me ajudar? Obrigada desde já!!
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Trigonometria no triângulo retângulo Empty Re: Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem por SilverBladeII Qua 30 Jun 2021, 18:58

Veja que 5=sqrt(3^2+4^2)
portanto existe k tal que sen(k)=3/5 e cos(k)=4/5. Daí
3 · cos x + 4 · sen x=5(3/5 · cos x + 4/5 · sen x)=
=5(sen k · cos x + cos k · sen x)=5sen(k+x),
então o valor máximo do produto é 5, ocorre quando sen(k+x)=1.
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