Ime 1985

se vc ver qqr erro me avisa pra eu tentar consertar
Se 
[latex]BCA=2\alpha[/latex], então [latex]ABC=90-\alpha[/latex]
Seja M o pé da bissetriz de B e N o pé da bissetriz de C.
Pela lei dos senos no triangulo BMC,
[latex]\frac{BC}{\sin(135-\alpha)}=\frac{BM}{\sin(2\alpha)}[/latex]

No triangulo BNC,
[latex]\frac{BC}{\sin(90+\alpha)}=\frac{CN}{\sin(90-2\alpha)}[/latex].
Assim, usando várias propriedades de trigonometria
[latex]\begin{align*}
k&=\frac{CN\cdot BM}{BC^2}\\
&=\frac{\sin(90-2\alpha)\sin(2\alpha)}{\sin(90+\alpha)\sin(135-\alpha)}\\
&=\frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{2\cos(\alpha)\sin(135-\alpha)}\\
&=\frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(135)-\sin(2\alpha-135)}\\
&=\frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sqrt2/2+\sin(135)\cos(2\alpha)-\cos(135)\sin(2\alpha)}\\
&=\frac{4\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sqrt2(1+\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha))}\\
&=\frac{4\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sqrt2(1+\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha))}+2\sqrt{2}-2\sqrt2\\
&=\frac{2(2+2\cos(2\alpha)+2\sin(2\alpha)+2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha))}{\sqrt2(1+\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha))}-2\sqrt2\\
&=\frac{2(1+\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha))^2}{\sqrt2(1+\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha))}-2\sqrt2\\
\end{align*}[/latex]

então

[latex]\begin{align*}
k&=\sqrt2(1+\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha))-2\sqrt2\\
&=\sqrt2(\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)-1)\\
&=2(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cos(2\alpha)-\frac{\sqrt2}{2}\sin(2\alpha))\\
&=2(-\frac{\sqrt2}{2}+\sin(45+2\alpha))\\
\end{align*}[/latex]
assim
[latex]2\alpha=\arcsin\left(\frac{k+\sqrt{2}}{2}\right)-45[/latex]
Magia 

Como os angulos internos ariam entre 0 e 90, o seno deles varia entre 0 e 1. Portanto
[latex]1 > \frac{k+\sqrt2}{2} > 0 \implies 2-\sqrt2 > k > -\sqrt2[/latex]
(mas perceba que k é fruto do produto e razão entre segmentos, então ele é sempre positivo)

Eu tentei fazer assim:

Sendo BA cateto adjacente de B, BA = X*cosB
Sendo CA cateto oposto de B, CA = X*senB

Ao traçar as bissetrizes eu obtenho:
b1 = XcosB/cos(B/2)
b2 = XsenB/cos(C/2)


k = b1*b2/X*X => k = cosB*senB/cos(B/2)*cos(45-B/2)

Utilizando algumas relações trigonométricas:

B/2 = a

k = 2*2^(1/2)*sen(a)*cos(a)*(cos(a) - sen(a))(cos(a) + sen(a))/cos(a)*(cos(a) + sen(a))

k = 2^(1/2)*2sen(a)(cos(a)-sen(a)) = 2^(1/2)*(sen(2a) +cos(2a) - 1)

k = 2^(1/2) * (senB + cosB - 1)

Só não consegui obter o K em função do cosseno de B, mas cheguei no mesmo que você