Lei de Kirchoff para um circuito RLC

Num Circuito em Série RLC como o da figura abaixo, a segunda lei de Kirchoff diz que a voltagem impressa E(t) (volts) no circuito é igual à soma das quedas de tensão no indutor, no resistor e no capacitor. Por outro lado, a queda de tensão através do indutor é [latex]L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}[/latex], através do resistor é [latex]R\frac{dq}{dt}[/latex] e através do capacitor é [latex]\frac{q}{c}[/latex]. Onde q = q(t) é a carga (coulomb) no capacitor no tempo t, L é a indutância (henry), R é a resistência (ohms) e C é a capacitância (farad). Assim, a Lei de Kirchoff para um circuito RLC se traduz na equação diferencial: [latex]L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{c}=E(t)[/latex]




Por fim, sabe-se que a corrente i(t) no circuito no instante t é a derivada da carga no capacitor, isto é, i(t) = q′(t). Tendo em vista estas informações, resolva os seguintes problemas.

a) Determine a carga q(t) no tempo t num circuito R-L-C com parâmetros L = 20 henry R = 40 ohms e C = [latex]10^{2}[/latex] farad quando a carga inicial q(0) e a corrente inicial i(0) = q′(0) são ambas nulas e a tensão E(t) na fonte é mantida constante por um segundo com uma intensidade de 120 V e é então desligada, conforme mostra o gráfico abaixo:


b) Determine a corrente no circuito no instante t = 0.2

c) Tendo em vista a expressão da solução q(t) obtida no Passo 3 do item a) e que as funções seno e cosseno assumem valores no intervalo [−1,1], mostre que, se t ≥ 1, então 
[latex]q(t)\leqslant \frac{9}{5}(1+e)e^{-t}[/latex]

d) Suponha que seja seguro religar a fonte de tensão do circuito a partir do momento em que a carga no capacitor fica menor que 0.1 coulomb. Utilize a desigualdade obtida no item anterior para estimar quantos segundos, no mínimo, a partir do instante do desligamento da fonte, ela poderá ser ligada novamente.