Função composta

por carol_esg Seg 17 maio 2021, 00:20

Considere as funções f: R * → R, g : R → R , h: R * → R definidas por f(x) = 3^{ x + 1/x}, g(x) = x^2 , h(x) = 81/x. Determine a soma dos valores de x em R tais que (fog)(x) = (hof)(x).

por **Elcioschin** Seg 17 maio 2021, 19:36

Fazendo x + 1/x = y --->

(x + 1/x)² = y² ---> x² + 2 + 1/x² = y² ---> x² + 1/x² = y² - 2

fog(x) = 3^{x² + 1/x²}

hof(x) = 81/3^{(x + 1/x)}

3^{x² + 1/x²} = 3⁴/3^{(x + 1/x)} ---> 3^{y² - 2}.3^y = 3⁴ ---> 3^{y² + y - 2} = 3⁴ --->

y² + y - 2 = 4 ---> y² + y - 6 = 0 ---> Raízes y = -3 (não serve) e y = 2

x + 1/x = 2 --> x² - 2.x + 1 = 0 ---> Raiz dupla x = 1

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