polinômio

Se p(x)=x^5  - 5x^3 +a3x^2 +a4x + a5 um polinômio de coeficientes reais. Se as raízes de p(x) satisfazem a desigualdade x5 =< x4=< x3 =< x2 =< x1. Onde x5 é igual a menos dois raiz quadrada de dois. Determine os coeficientes a3, a4 e a5.
Res: a3=e raiz de 2; a4=-15/4; a5=raiz de 2/2

Se segura que hj é dia de fazer conta. Se tiver qqr duvida perguntae

Vamos chamar as raizes de a=-2√2, x, y, z, w, pq to com preguiça de escrever
nesse caso, pelas fórmulas de viète temos que
[latex]a+x+y+z+w=0\implies w=-a-x-y-z[/latex]
e
[latex]ax+ay+az+aw+xy+xz+xw+yz+yw+zw=-5[/latex]. Substituindo w e já simplificando o quanto possivel (deixamos como exercicio verificar essas contas), obtemos
[latex]a^2+x^2+y^2+z^2+xa+xy+xz+ya+yz+za-5=0[/latex]
Substituindo a, obtemos
[latex]x^2+y^2+z^2-2\sqrt2x-2\sqrt2y-2\sqrt2y+xy+xz+yz+3=0[/latex]
Podemos resolver a equação em x:
[latex]x^2-x(2\sqrt2+y+z)+y^2+z^2+yz-2\sqrt2y-2\sqrt2z+3=0\hspace{4cm}(1)[/latex]
O Delta da equação (1) deve ser positivo para x ser real, de forma que
[latex]\Delta=(2\sqrt2+y+z)^2-4\cdot(y^2+z^2+yz-2\sqrt2y-2\sqrt2z+3)\geq 0[/latex]
Simplificando:
[latex]\begin{align*}\Delta&=-3y^2-3z^2-2yz+4\sqrt2y+4\sqrt2z-4\\
&=-3y^2+y(2z-4\sqrt2)-3z^2+4\sqrt2z-4 \hspace{4cm} (2)
&\geq 0
\end{align*}[/latex]

Vamos olhar o Delta da equação (2) em y:
[latex]\begin{align*}\Delta ' &= (2z-4\sqrt2)^2-4\cdot(-3)\cdot(-3z^2+4\sqrt2z-4)\\
&=4z^2-16\sqrt2z+32-36z^2+48\sqrt2z-48\\
&=-32z^2+32\sqrt2z-16\\
&=-16(2z^2-2\sqrt{2}z+1)\\
&=-(4(\sqrt2z-1))^2
\end{align*}[/latex]

É fácil ver que [latex]\Delta '[/latex] é sempre menor ou igual a 0. Se [latex]\Delta '[/latex] for menor que 0, como o coeficiente líder da equação (2) é negativo, não importa quem seja z (2) será sempre negativo, o que não queremos. Desse modo, resta que [latex]\Delta'=0[/latex] e, portanto, [latex]z=1/\sqrt{2}[/latex].
Analogamente (olhando (2) como uma equação em z em vez de em y), obtemos [latex]y=1/\sqrt{2}[/latex]. Substituindo em (1), obtemos [latex]x=1/\sqrt{2}[/latex]
Dessa forma, [latex]w=2\sqrt2 - 3/\sqrt(2)=1/\sqrt{2}[/latex].

Assim, o polinomio original é
[latex](x+2\sqrt2)(x-1/\sqrt{2})^4=x^5 - 5 x^3 + 5 \sqrt2 x^2 - 15 x/4 + 1/\sqrt2[/latex]
e temos os coeficientes.