Identidades Binomiais

Prove que 




Alguém sabe como desenvolver esse primeiro membro sem precisar derivar?

Temos:

i)

[latex]C_{n-1}^{p}=\binom{n-1}{p}[/latex]


ii)

[latex]\binom{n-1}{p} = \frac{n-1}{p}\binom{n-2}{p-1}[/latex]



Com isso:


[latex]S = \sum_{p=0}^{n}(p+1)\binom{n-1}{p} = \sum_{p=0}^{n}\left [p\cdot \binom{n-1}{p} + \binom{n-1}{p} \right ][/latex]



[latex]S = \sum_{p=0}^{n}p\cdot \binom{n-1}{p} + \sum_{p=0}^{n}\binom{n-1}{p}[/latex]



[latex]S = \sum_{p=0}^{n}(n-1)\cdot \binom{n-2}{p-1} + \sum_{p=0}^{n}\binom{n-1}{p}[/latex]



[latex]S = (n-1)\cdot\sum_{p=0}^{n} \binom{n-2}{p-1} + \sum_{p=0}^{n}\binom{n-1}{p}[/latex]



[latex]S = (n-1)\cdot 2^{n-2} + 2^{n-1}[/latex]



[latex]S = 2^{n-2}\cdot \left [(n-1) + 2 \right ][/latex]



[latex]S = (n+1)\cdot 2^{n-2}[/latex]

Ué... kkkkkk
Teoricamente era para aparecer um n, né?
Acho que a questão está errada.

Muito obrigado! Estás certo, acabei de ver que na questão tem um "n" atrás do somatório, seu resultado está correto.