UFPR - Progressão Aritmética

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi um matemático que aos setes anos de idade deduziu sozinho a soma dos termos da seqüência dos números naturais de 1 a 100. Em linguagem moderna a soma dos 100 primeiros termos é dada por (1+100)×100/2 = 5050; onde 1 é o primeiro termo e 100 é o centésimo termo da seqüência 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100. Com base nessa ideia, observe a soma das sequências a seguir: 
1 = 1
1 + 3 = 4 
1 + 3 + 5 = 9 
1 + 3 + 5 + 7 = 16 
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 
⋯
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ⋯ + (2N − 1) = 2500.

Assinale a alternativa que indica o valor correto para N da última sequência acima. 
a) 1125. 
b) 101. 
c) 25. 
d) 50. 
e) 23.

Gabarito: d)

1,3,5,7... representa uma P.A de razão r = 2

o n-ésimo termo é dado por an = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1

A soma totaliza 2500,logo:

(1 + 2n - 1)n/2 = 2500 => 2n² = 2x2500 => n = 50 termos