(OBM) Triângulo

por **luiseduardo** Qui 17 Set 2009, 09:58

Em um triângulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam M e N pontos sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que HM é perpendicular a AB e HN é perpendicular a AC. Achar MN, sabendo que o perímetro do triângulo órtico do triângulo ABC é igual a 10.
Observação: o triângulo órtico de um triângulo é aquele cujos vértices são as interseções das alturas do triângulo com os respectivos lados. Pode-se demonstrar que o incentro (encontro das bissetrizes) do triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro (encontro das alturas) do triângulo original.

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

por **adriano tavares** Qua 24 Nov 2010, 17:48

Olá, luiseduardo.

(OBM) Triângulo Obmtringulo

Como ele não especifica qual o tipo de triângulo, vamos considerar então o triângulo equilátero, pois todos os seus pontos notáveis coincidem.Sendo o triângulo órtico é também equilátero e seus lados são pontos médios do triângulo ABC, conclui-se que o lado do triângulo ABC é o dobro do lado do triângulo A'C'H.

$A'C'=\frac{10}{3}\Rightarrow AC=\frac{20}{3}=AB=BC$

Os quatro triângulos equiláteros menores tem a mesma área, pois todos são formados pelos ponto médio do triângulo equilátero ABC.

A altura MH é a altura do triângulo equilátero BHA'.

$MH=\frac{l\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MH=\frac{\frac{10}{3}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MH=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Note que MH é a hipotenusa do triângulo retângulo.Os ângulos destacados na figura são iguais, pois são alternos internos.

$MO=\frac{5\sqrt{3}}{3}.cos30^\circ \Rightarrow MO=\frac{5\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MO=\frac{5}{2}\\\\MN=2.(MO)\Rightarrow MN=2\frac{5}{2}\Rightarrow MN=5$

Alternativa:A

por **luiseduardo** Qua 24 Nov 2010, 18:32

É isso mesmo adriano Wink

Boa. hehehe

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