(OBM) Triângulo

Em um triângulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam M e N pontos sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que HM é perpendicular a AB e HN é perpendicular a AC. Achar MN, sabendo que o perímetro do triângulo órtico do triângulo ABC é igual a 10.
Observação: o triângulo órtico de um triângulo é aquele cujos vértices são as interseções das alturas do triângulo com os respectivos lados. Pode-se demonstrar que o incentro (encontro das bissetrizes) do triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro (encontro das alturas) do triângulo original.

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Olá, luiseduardo.



Como ele não especifica qual o tipo de triângulo, vamos considerar então o triângulo equilátero, pois todos os seus pontos notáveis coincidem.Sendo o triângulo órtico é também equilátero e seus lados são pontos médios do triângulo ABC, conclui-se que o lado do triângulo ABC é o dobro do lado do triângulo A'C'H.



Os quatro triângulos equiláteros menores tem a mesma área, pois todos são formados pelos ponto médio do triângulo equilátero ABC.

A altura MH é a altura do triângulo equilátero BHA'.



Note que MH é a hipotenusa do triângulo retângulo.Os ângulos destacados na figura são iguais, pois são alternos internos.



Alternativa:A

É isso mesmo adriano
Boa. hehehe