IME- 2016

por FreddieMercury Ter 02 Mar 2021, 19:58

Sejam uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a3,....) e uma progressão geométrica (b1, b2, b3, b4,...) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q>2 e b1>0. Sabe-se, também, que a1+b2=3 ; a4+b3=26. O valor de b1 é:

a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

gabarito: a)

por Nickds12 Ter 02 Mar 2021, 20:50

a1+b2=3 (-1)
a4+b3=26

a4 - a1 + b3 - b2 = 23
(n-1)r + a1 - a1 + b3 + b2 = 23
3r + b1*q^3-1 + b1*q^2-1 = 23
3r + b1*q^2 + b1*q = 23
b1*q(q+1) = 23-3r
b1*(q^2+q) = 23-3r

para q = 4

b1*20 = 23-3r
3r = 23 - b1*20
3r = 3
r = 1

b1 = 1

por **Elcioschin** Ter 02 Mar 2021, 21:51

PA: a1, ....... a2 ....... a3 ....... a4

..... a1, ..... a1+r .. a1+2.r ...a1+3.r ---> r inteiro > 0

PG: b1, ....... b2, ....... b3

..... b1 ...... b1.q ...... b1.q² ----> q inteiro > 2 e b1 > 0

a1 + b2 = 3 ----> a1 + b1.q = 3 ---> I

a4 + b3 = 26 ---> a1 + 3.r + b1.q² = 26 ---> II

II - I ---> 3.r + b1.q² - b1.q = 26 ---> 3.r + b1.q.(q - 1) = 23

Para q = 3 ---> 3.r + b1.3.(3 - 1) = 23 ---> 3.r + 6.b1 = 23 ---> Não existem inteiros positivos que atendam

Para q = 4 ---> 3.r + b1.4.(4 - 1) = 23 ---> 3.r + 12.b1 = 23 ---> idem

Para q = 5 ---> 3.r + b1.5.(5 - 1) = 23 ---> 3.r + 20.b1 = 23 ---> Única solução: r = 1 e b1 = 1

por Nickds12 Qua 03 Mar 2021, 06:54

Post foi atualizado para mostrar o r = 1 na prática. Para 4 > q > 2 temos valores não inteiros.

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