Maior inteiro

por marcosprb Sex 29 Jan 2021, 20:56

Não encontrei a questão no fórum. Gostaria de uma solução mais formal, se possível.
O maior inteiro que não supera [latex]\frac{3^{2010}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}[/latex] é igual a:

a)4
b)6
c)7
d)8
e)9

por **SilverBladeII** Qui 04 Fev 2021, 18:51

Veja que

[latex]\begin{align*}\frac{3^{2010}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}&=\frac{3^{2010}+9\cdot2^{2008}-9\cdot2^{2008}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=9-\frac{9\cdot2^{2008}-4\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=9-\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}.\end{align*}[/latex]

Além disso, observe que

[latex]\begin{align*}3^{2008}+2^{2008}-5\cdot2^{2008}&=9^{1004}-4\cdot2^{2008}\\&>8^{1004}-2^{2010}\\&=2^{3012}-2^{2010}\\&>0,\end{align*}[/latex]

de forma que

[latex]0<\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}<1,[/latex]

e então

[latex]8<9-\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}<9,[/latex]

e, portanto, [latex]8[/latex] é o maior inteiro que não super o número dado.

por **SilverBladeII** Qui 04 Fev 2021, 18:57

Um comentário aleatório, o wolframalpha calculou o número dado e ele é próximo de 9 por um erro de [latex]10^{-353}[/latex]. Isso mostra como a potencia de 3 é completamente dominante sobre a potencia de 2, é como se nem existisse.

por Maikão_ Sex 27 maio 2022, 16:45

SilverBladeII escreveu:
Veja que
[latex]\begin{align*}\frac{3^{2010}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}&=\frac{3^{2010}+9\cdot2^{2008}-9\cdot2^{2008}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=9-\frac{9\cdot2^{2008}-4\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=9-\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}.\end{align*}[/latex]
Além disso, observe que
[latex]\begin{align*}3^{2008}+2^{2008}-5\cdot2^{2008}&=9^{1004}-4\cdot2^{2008}\\&>8^{1004}-2^{2010}\\&=2^{3012}-2^{2010}\\&>0,\end{align*}[/latex]
de forma que
[latex]0<\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}<1,[/latex]
e então
[latex]8<9-\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}<9,[/latex]
e, portanto, [latex]8[/latex] é o maior inteiro que não super o número dado.

Não entendi por que foi adicionado o [latex]9 \cdot 2^{2008} - 9 \cdot 2^{2008}[/latex] na equação.

por **SilverBladeII** Seg 21 Ago 2023, 11:25

Maikão_ escreveu:
SilverBladeII escreveu:
Veja que
[latex]\begin{align*}\frac{3^{2010}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}&=\frac{3^{2010}+9\cdot2^{2008}-9\cdot2^{2008}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=9-\frac{9\cdot2^{2008}-4\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=9-\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}.\end{align*}[/latex]
Além disso, observe que
[latex]\begin{align*}3^{2008}+2^{2008}-5\cdot2^{2008}&=9^{1004}-4\cdot2^{2008}\\&>8^{1004}-2^{2010}\\&=2^{3012}-2^{2010}\\&>0,\end{align*}[/latex]
de forma que
[latex]0<\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}<1,[/latex]
e então
[latex]8<9-\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}<9,[/latex]
e, portanto, [latex]8[/latex] é o maior inteiro que não super o número dado.
Não entendi por que foi adicionado o [latex]9 \cdot 2^{2008} - 9 \cdot 2^{2008}[/latex] na equação.

É só um artifício pra separa o numerador.
Deixa eu escrever melhor
[latex]\begin{align*}\frac{3^{2010}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}&=\frac{3^{2010}+9\cdot2^{2008}-9\cdot2^{2008}+2^{2010}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=\frac{9(3^{2008}+2^{2008})-9\cdot2^{2008}+2^2\cdot 2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}\\
&=9-\frac{9\cdot2^{2008}-4\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}\\&=9-\frac{5\cdot2^{2008}}{3^{2008}+2^{2008}}.\end{align*}[/latex]
O objetivo é escrever a fração original na forma 9-r, onde r é um numero muito pequeno. Faz sentido?

por Conteúdo patrocinado

Maior inteiro

Maior inteiro

Re: Maior inteiro

Re: Maior inteiro

Re: Maior inteiro

Re: Maior inteiro

Re: Maior inteiro

Um fórum livre e democrático.