Maior inteiro

Determine o maior inteiro n menor que 10000 tal que 2^n+n seja divisível por 5.
a)9989
b)9990
c)9991
d)9992
e)9993

PlodX escreveu:Determine o maior inteiro n menor que 10000 tal que 2^n+n seja divisível por 5.
a)9989
b)9990
c)9991
d)9992
e)9993

Potências de 2 e seus restos ao serem divididas por 5:

Expoentes:1 — 2 — 3 — 4 —— 5 —— 6 ———7 —— 8
Potências: 2 — 4 — 8 — 16 — 32 — 64 — 128 — 256
Restos....: 2 — 4 — 3 — 1 —— 2 —— 4 ———3 —-—1

Observe que os restos repetem-se em ciclos (de 4 em 4).

Analisemos, agora, as alternativas oferecidas pelo gabarito:
Expoentes: 9989 .... 9990 .... 9991 .... 9992 .... 9993
(r) Exp/4 : ..... 1 .......... 2 ......... 3 .......... 0 .......... 1
resto/Ciclo ..... 2 .......... 4 ......... 3 .......... 1 .......... 2
(r) Exp/5 : ..... 4 .......... 0 ......... 1 .......... 2 .......... 3
------------------------------------------------------------
Σ 2 últ.linhas : 6 .......... 4 ......... 4 .......... 3 .......... 5
(r) Σ/5 ........ : 1 .......... 4 ......... 4........... 3 .......... 0

Ou, analisando as alternativas uma por uma:

a) 9989
9989/4 = 2497 ciclos + 1 de resto (vinculado ao 1º resto do ciclo: 2); e
9989/5 deixa resto = 9-5=4; portanto:
(2^9989 + 9989) ao ser dividido por 5 deixa resto = 2 + 4 = 6 → 6-5 = 1 → resto 1.

b) 9990
9990/4 = 2497 ciclos + 2 de resto (vinculado ao 2º resto do ciclo: 4); e
9990/5 deixa resto = 0 (pois 9990 é divisível por 5); portanto:
(2^9990 + 9990) ao ser dividido por 5 deixa resto = 4 + 0 = 4 → resto 4.

c) 9991
9991/4 = 2497 ciclos + 3 de resto (vinculado ao 3º resto do ciclo: 3); e
9991/5 deixa resto = 1-0 = 1; portanto:
(2^9991 + 9991) ao ser dividido por 5 deixa resto = 3 + 1 = 4 → resto 4.

c) 9992
9992/4 = 2498 ciclos exatos = resto 0 (vinculado ao 4º resto do ciclo: 1); e
9992/5 deixa resto = 2-0 = 2; portanto:
(2^9992 + 9992) ao ser dividido por 5 deixa resto = 1 + 2 = 3 → resto 3.

d) 9993
9993/4 = 2498 ciclos + 1 de resto (vinculado ao 1º resto do ciclo: 2); e
9993/5 deixa resto = 3-0 = 3; portanto:

(2^9993 + 9993) ao ser dividido por 5 deixa resto = 2 + 3 = 5 → resto 0.


Alternativa (e).





O Senhor Jesus te abençoe e guarde!