Questão sobre vetores

Determine as componentes e o modulo de r = a - b + c, onde a = 5i + 4j -6k, b = -2i + 2j + 3k, c = 4i + 3j + 2k. Calcule o ângulo entre r e o eixo z positivo.

Spoiler:

r = a - b + c = 5i + 4j -6k -(-2i + 2j + 3k) + 4i + 3j + 2k = 11i + 5j - 7k

Assim, r = (11, 5, -7).

Para calcular o módulo de r, basta tirar a raíz da soma dos quadrados das componentes de r:
|r| = √(11² + 5² + (-7)²) = √(195).

Uma possível maneira de calcular o angulo entre r e o eixo z positivo é pelo produto escalar entre r e o versor z = (0, 0, 1). Como a questão é elaborada numa base ortonormal (i, j, k), o produto escalar pode ser calculado como a soma do produto das componentes dos dois vetores. Todavia, essa operação também é definida como o produto entre o módulo dos dois vetores e o cosseno do angulo θ entre eles. Assim:
 = |r|.|z|.cos θ = 11.0 + 5.0 + (-7).1
√(195).1.cos θ = - 7 → cos θ = (- 7)/√(195) → θ = arccos [(- 7)/√(195)]