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Progressao aritimetica de seno

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Progressao aritimetica de seno Empty Progressao aritimetica de seno

Mensagem por kimpetras20 Seg 28 Dez 2020, 09:59

Progressao aritimetica de seno Captur38

Considere três arcos trigonométricos cujas medidas α1, α2 e α3, em radianos, pertencem ao intervalo ]0, 2π], de modo que a sequência (α1, α2, α3) seja uma progressão aritmética crescente. Sabe-se que os respectivos senos de α1, α2 e α3 formam, nessa ordem, outra progressão aritmética, a soma dos termos dessa última progressão resulta em:


não achei gabarito e não consegui resolver 
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Progressao aritimetica de seno Empty Re: Progressao aritimetica de seno

Mensagem por pepelinear Seg 28 Dez 2020, 11:21

Seja "m" a razão da PA dos ângulos e "n" a razão da PA dos senos. 
Temos portanto:
α1α2 - m (I)
α3 = α+ m (II) 

sen(α1) = sen(α2) - n (III)
sen(α3) = sen(α2) + n (IV)


#1. Substituindo a equação (I) na equação (III)
sen(α- m) = sen(α2) - n
sen(α2).cos(m) - sen(m).cos(α2) = sen(α2) - n (*)


#2. Substituindo a equação (II) na equação (IV)
sen(α+ m) = sen(α2) + n
sen(α2).cos(m) + sen(m).cos(α2) = sen(α2) + n (**)



#3. Somando as equações (*) e (**):
2.sen(α2).cos(m) = 2.sen(α2)
sen(α2).[cos(m) - 1] = 0


Observa-se neste ponto que cos(m) nunca pode valer 1, pois isso implicaria em m = 2.π.k. Como, de acordo como enunciado, a PA é crescente, m não pode ser nulo; e, também de acordo com o enunciado, (α1, α2, α3) pertencem ao intervalo da primeira volta, ou seja, m não pode ser múltiplo de 2.π.
Desta forma, o único jeito da igualdade acima ser mantida é se sen(α2) = 0.


#4. A soma S pedida pelo enunciado, por fim, será:
S = sen(α1) + sen(α2) + sen(α3)
Substituindo (III) e (IV):
S = sen(α2) - n + sen(α2) + sen(α2) + m 
S = 3.sen(α2) = 3.0 = 0


Não sei se o raciocínio está correto, caso exista algum erro por favor me corrigir. Belíssimo exercício.
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Mensagem por Elcioschin Seg 28 Dez 2020, 12:09

Algumas considerações:

Na 1ª volta o arco e seu seno são crescentes em apenas dois intervalos:

1) [0, pi/2] ---> 1º quadrante
2) [3.pi/2, 2.pi] --> 4º quadrante

a1 , a, a3 ---> PA crescente com razão r
sena1, sena2, sena3 ---> PA crescente com razão r'

a1 + a3 = 2.a2 ---> I

a2 = a1 + r ---> a3 = a1 + 2.r ---> II

sena1 + sena3 = 2.sena---> III

sena= sena1 + r' ---> sena= sena1 + 2.r' ---> IV

I ---> sen(a1 + a3) = sen(2.a2) ---> V

É um sistema complexo para resolver!


Última edição por Elcioschin em Ter 29 Dez 2020, 11:58, editado 1 vez(es)
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Mensagem por pepelinear Ter 29 Dez 2020, 10:56

Elcio, desculpe-me, mas não entendi onde está meu erro. Pelo que eu entendi, o senhor destacou em rosa que a razão "n" da PA dos senos deveria ser somada "dentro" do seno, certo? Mas, para que os senos estejam em PA não se deve somar a razão "fora" do seno?
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Mensagem por Elcioschin Ter 29 Dez 2020, 11:49

Você escreveu

αα- m (I)
α3 = α+ m (II) 

Note que, como α1 e α2 são ângulos (em graus ou radianos), m também é um ângulo

Logo:

Em I, calculando seno nos dois membros ---> sen(α1) = sen(α2 - m)
Em II, idem ---> sen(α3) = sen(α2 + m)

Depois é que vi que a continuação da sua solução está correta. 
Desculpe-me. Vou editar minha solução.
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Mensagem por kimpetras20 Sex 01 Jan 2021, 11:34

@pepelinear escreveu:Seja "m" a razão da PA dos ângulos e "n" a razão da PA dos senos. 
Temos portanto:
α1α2 - m (I)
α3 = α+ m (II) 

sen(α1) = sen(α2) - n (III)
sen(α3) = sen(α2) + n (IV)


#1. Substituindo a equação (I) na equação (III)
sen(α- m) = sen(α2) - n
sen(α2).cos(m) - sen(m).cos(α2) = sen(α2) - n (*)


#2. Substituindo a equação (II) na equação (IV)
sen(α+ m) = sen(α2) + n
sen(α2).cos(m) + sen(m).cos(α2) = sen(α2) + n (**)



#3. Somando as equações (*) e (**):
2.sen(α2).cos(m) = 2.sen(α2)
sen(α2).[cos(m) - 1] = 0


Observa-se neste ponto que cos(m) nunca pode valer 1, pois isso implicaria em m = 2.π.k. Como, de acordo como enunciado, a PA é crescente, m não pode ser nulo; e, também de acordo com o enunciado, (α1, α2, α3) pertencem ao intervalo da primeira volta, ou seja, m não pode ser múltiplo de 2.π.
Desta forma, o único jeito da igualdade acima ser mantida é se sen(α2) = 0.


#4. A soma S pedida pelo enunciado, por fim, será:
S = sen(α1) + sen(α2) + sen(α3)
Substituindo (III) e (IV):
S = sen(α2) - n + sen(α2) + sen(α2) + m 
S = 3.sen(α2) = 3.0 = 0


Não sei se o raciocínio está correto, caso exista algum erro por favor me corrigir. Belíssimo exercício.

Muito obrigado!! Simples e clara resolucao para um problema mais fora do comum!
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