Progressao aritimetica de seno

por kimpetras20 Seg 28 Dez 2020, 09:59

Considere três arcos trigonométricos cujas medidas α1, α2 e α3, em radianos, pertencem ao intervalo ]0, 2π], de modo que a sequência (α1, α2, α3) seja uma progressão aritmética crescente. Sabe-se que os respectivos senos de α1, α2 e α3 formam, nessa ordem, outra progressão aritmética, a soma dos termos dessa última progressão resulta em:

não achei gabarito e não consegui resolver

por pepelinear Seg 28 Dez 2020, 11:21

Seja "m" a razão da PA dos ângulos e "n" a razão da PA dos senos.
Temos portanto:
α1 = α2 - m (I)
α3 = α2 + m (II)

sen(α1) = sen(α2) - n (III)
sen(α3) = sen(α2) + n (IV)

#1. Substituindo a equação (I) na equação (III)
sen(α2 - m) = sen(α2) - n
sen(α2).cos(m) - sen(m).cos(α2) = sen(α2) - n (*)

#2. Substituindo a equação (II) na equação (IV)
sen(α2 + m) = sen(α2) + n
sen(α2).cos(m) + sen(m).cos(α2) = sen(α2) + n (**)

#3. Somando as equações (*) e (**):
2.sen(α2).cos(m) = 2.sen(α2)
sen(α2).[cos(m) - 1] = 0

Observa-se neste ponto que cos(m) nunca pode valer 1, pois isso implicaria em m = 2.π.k. Como, de acordo como enunciado, a PA é crescente, m não pode ser nulo; e, também de acordo com o enunciado, (α1, α2, α3) pertencem ao intervalo da primeira volta, ou seja, m não pode ser múltiplo de 2.π.
Desta forma, o único jeito da igualdade acima ser mantida é se sen(α2) = 0.

#4. A soma S pedida pelo enunciado, por fim, será:
S = sen(α1) + sen(α2) + sen(α3)
Substituindo (III) e (IV):
S = sen(α2) - n + sen(α2) + sen(α2) + m
S = 3.sen(α2) = 3.0 = 0

Não sei se o raciocínio está correto, caso exista algum erro por favor me corrigir. Belíssimo exercício.

por **Elcioschin** Seg 28 Dez 2020, 12:09

Algumas considerações:

Na 1ª volta o arco e seu seno são crescentes em apenas dois intervalos:

1) [0, pi/2] ---> 1º quadrante
2) [3.pi/2, 2.pi] --> 4º quadrante

a₁ , a₂, a₃ ---> PA crescente com razão r
sena₁, sena₂, sena₃ ---> PA crescente com razão r'

a₁ + a₃ = 2.a₂ ---> I

a₂ = a₁ + r ---> a₃ = a₁ + 2.r ---> II

sena₁ + sena₃ = 2.sena₂---> III

sena₂= sena₁ + r' ---> sena₃= sena₁ + 2.r' ---> IV

I ---> sen(a₁ + a₃) = sen(2.a₂) ---> V

É um sistema complexo para resolver!

por pepelinear Ter 29 Dez 2020, 10:56

Elcio, desculpe-me, mas não entendi onde está meu erro. Pelo que eu entendi, o senhor destacou em rosa que a razão "n" da PA dos senos deveria ser somada "dentro" do seno, certo? Mas, para que os senos estejam em PA não se deve somar a razão "fora" do seno?

por **Elcioschin** Ter 29 Dez 2020, 11:49

Você escreveu

α1 = α2 - m (I)
α3 = α2 + m (II)

Note que, como α1 e α2 são ângulos (em graus ou radianos), m também é um ângulo

Logo:

Em I, calculando seno nos dois membros ---> sen(α1) = sen(α2 - m)
Em II, idem ---> sen(α3) = sen(α2 + m)

Depois é que vi que a continuação da sua solução está correta.
Desculpe-me. Vou editar minha solução.

por kimpetras20 Sex 01 Jan 2021, 11:34

pepelinear escreveu:Seja "m" a razão da PA dos ângulos e "n" a razão da PA dos senos.
Temos portanto:
α1 = α2 - m (I)
α3 = α2 + m (II)

sen(α1) = sen(α2) - n (III)
sen(α3) = sen(α2) + n (IV)

#1. Substituindo a equação (I) na equação (III)
sen(α2 - m) = sen(α2) - n
sen(α2).cos(m) - sen(m).cos(α2) = sen(α2) - n (*)

#2. Substituindo a equação (II) na equação (IV)
sen(α2 + m) = sen(α2) + n
sen(α2).cos(m) + sen(m).cos(α2) = sen(α2) + n (**)

#3. Somando as equações (*) e (**):
2.sen(α2).cos(m) = 2.sen(α2)
sen(α2).[cos(m) - 1] = 0

Observa-se neste ponto que cos(m) nunca pode valer 1, pois isso implicaria em m = 2.π.k. Como, de acordo como enunciado, a PA é crescente, m não pode ser nulo; e, também de acordo com o enunciado, (α1, α2, α3) pertencem ao intervalo da primeira volta, ou seja, m não pode ser múltiplo de 2.π.
Desta forma, o único jeito da igualdade acima ser mantida é se sen(α2) = 0.

#4. A soma S pedida pelo enunciado, por fim, será:
S = sen(α1) + sen(α2) + sen(α3)
Substituindo (III) e (IV):
S = sen(α2) - n + sen(α2) + sen(α2) + m
S = 3.sen(α2) = 3.0 = 0

Não sei se o raciocínio está correto, caso exista algum erro por favor me corrigir. Belíssimo exercício.