Algebra - Equaçao Polinomial

Segue exatamente como no enunciado;

Dado o polinomio P(z)=2 * z³ + z² * (-2 -6i) + z * (5+6i) -15i

a) Mostre que P(z) admite uma raiz imaginaria pura

c) Resolva em C P(z) = 0 e determine as raizes z1, z2, z3

Não faço ideia de como procede o primeiro e o segundo é decorrencia...

Rama" .·.

.

Quando vc fizer uma correção num enunciado ainda sem resposta, não abra uma resposta: altere diretamente na mensagem original.

Por favor, simplifique a escrita:

1) Escreva expoentes 2 e 3 digitando a base seguida de Alg Gr 2 ou Alt Gr 3

2) Coloque sempre * para multiplicar parcelas

3) Preferencialmente use o Editor LaTeX do fórum para escrever as equações (Existe tutorial no fórum)

Tens certeza do enunciado?

É um polinômio do 2º grau ? Se for, coloque os termos em ordem decrescente do expoente de x.
ou
É um polinômio de 3º grau em que faltou z³ ----> (2³)*z³

Sim senhor, atendidas as exigencias:

1) ok

2) ok

3) não sou autorizado dentro de 7 dias ao uso do latex

4) sim, tenho certeza

5) polinomio de 3º grau

6) Não tenho o gabarito

Cordialmente,

Rama" .·.

P(z) = 2*z³ + (- 2 - 6i)*z² +(5 + 6i)*z - 15i

Sejam r, s, t as raízes tais que r = a + bi, s = a - bi

Relações de Girard:

a) rst = - - (- 15i)/2 ---> (a + bi)*(a - bi)*t = (15/2)*i ---> t = [15/2*(a² + b²)]*i ----> t é imaginária pura

c) r + s + t = - (- 2 - 6i)/2 --> (a + bi) + (a - bi) + [15/2*(a² + b²)]*i = 1 + 3i ---> 2a + [15/2*(a² + b²)]*i = 1 + 3i

Comparando termo a termo:

2a = 1 ----> a = 1/2

15/2*(a² + b²) = 3 ---> 2a² + 2b² = 5 ----> 2*(1/2)² + 2b² = 5 ----> 2b² = 57/4 ---> b² = 9/4 ----> b = 3/2

a² + b² = (1/2)² + 9/4 ---> a² + b² = 5/2 ----> t = (1/5/5)*i ----> t = 3i


Raízes ---> r = 1/2 + i*3/2 ----> s = 1/2 - 3/2 ----> t = 3i

Caso não houvesse o item c para comparar, como seria a resolução? Tentei fazer z = y*i e só compliquei a vida e nunca chegava num resultado...metodo impossivel ou apenas idiota?

Rama" .·.

A dica para provar que uma raiz era imaginária pura foi o ponto de partida

Eu sei qual foi o ponto de partida, eu tb comecei por ele, a questao e: Girard e o UNICO meio?

Certamente Girard é o único meio por se tratar de um polinômio do 3º grau com coeficientes complexos