Função do 2º Grau - Completando Quadrados

Completando o quadrado da função para chegar na sua forma canônica:



f(x)= 3x^2 + 12x + 11



Resolvendo:



3.(x^2 + 4x)+11

3.(x^2 + 4x + (2^2) - (2^2))+11

3.(x^2 + 4x + 4) - 3.(4) +11

3.(x^2 + 2)^2 - 1



Alguém poderia me ajudar a entender esse método de completar quadrados?

De onde surgiram os números em negrito??

E de onde surgiu o 3 que multiplica o -4 ??



Obrigado!

Forma canônica, normal ou padrão, ou ainda forma vértice:

f (x) = t( px + q )² + tr

A solução é :

f(x) = (2ax + b)²/4a -(b² - 4ac)/4a

Nesse caso:

f(x) = 3x² + 12x + 11

2a = 2*3 = 6

b = 12

4a = 4*3 = 12

(b² - 4ac) = 12*12 - 12*11 = 12(12-11) = 12

Substituindo-se:

f(x) = (6x + 12)²/12 -12/12

f(x) = (6x + 12)(6x + 12)/12 - 1

f(x) = 6(x + 2)6(x + 2)/12 - 1

f(x) = 3(x+2)² - 1

Para quem não acha fácil "achar" os termos que "completam" o quadrado de uma soma, a solução é decorar mais esta fórmula.

Para economizar memória, aproveitando outras, podemos pensá-la na "forma vértice":

f(x) = a(x - h)² + v

Onde:

h (coordenada horizontal) é x do vértice e v (coordenada vertical) é o y do vértice.

h = -b/2a

v = -(b²-4ac)/4a

E vamos lá !

Saudações memoráveis,



Rihan