Como completar quadrados

por Christiane Zaidan Qua 16 Mar 2011, 14:26

A equação :
x ao quadrado + 9y ao quadrado - 6x - 18y +9 =0 define uma elipse. Complete os quadrados nas variáveis x e y e encontre a equação canônica dessa elipse.
Nunca vi este negócio de completar quadrados... Será que alguém poderia me dar uma explicação?
Muito obrigada

por **Euclides** Qua 16 Mar 2011, 14:53

A equação canônica da elipse tem a forma:

$\dpi{120} \\\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\\\\(x_0,\;y_0)\rightarrow \text{centro da elipse}\\(a,\;b)\rightarrow \text{semieixos}$

completar os quadrados é encontrar essa forma

$\dpi{120} \\x^2+9y^2-6x-18y+9=0\\(x^2-6x+9)+(9y^2-18y+9)-9=0\\(x-3)^2+9(y-1)^2-9=0\\\\\frac{(x-3)^2}{3^2}+\frac{(y-1)^2}{1^2}=1$

por Christiane Zaidan Qua 16 Mar 2011, 16:12

Desculpe, Euclides, mas continuo não entendendo. Qual a definição para "completar quadrados"? Existe uma fórmula ou demonstração para isto?
Pude verificar que você formou dois polinômios, e incluiu o +9 nos dois. Foi por isso que você subtraiu 9 no final?
Faço a matéria Pré-cálculo na faculdade de matemática e esta questão de completar quadrados está me impedindo de prosseguir com as elipses.
Se der, por favor, me explique de forma mais detalhada.
Obrigada mais uma vez

por **Euclides** Qua 16 Mar 2011, 16:21

Christiane Zaidan escreveu:Desculpe, Euclides, mas continuo não entendendo. Qual a definição para "completar quadrados"? Existe uma fórmula ou demonstração para isto?
Pude verificar que você formou dois polinômios, e incluiu o +9 nos dois. Foi por isso que você subtraiu 9 no final?
Faço a matéria Pré-cálculo na faculdade de matemática e esta questão de completar quadrados está me impedindo de prosseguir com as elipses.
Se der, por favor, me explique de forma mais detalhada.
Obrigada mais uma vez

Completar quadrados:

veja a expressão: $\dpi{100} x^2-4x+6$

esse trinômio não é quadrado perfeito, mas podemos alterar a expressão de modo que tenhamos nela um trinômio quadrado perfeito:

$\dpi{120} x^2-4x+6\rightarrow x^2-4x+4+2\rightarrow (x-2)^2+2$