Geometria Analítica

EFE/59 - Três retas concorrem no ponto M( - 2, 3 ). Uma dessas retas é paralela ao eixo do x, outra passa pelo ponto ( 2, 1 ) e a terceira passa pela origem. Calcule o coeficiente angular de uma reta que corta as três retas dadas nos pontos A, B e C respectivamente, de modo que MB seja mediana do triângulo MAC.

R: m = 3/2

Jose Carlos escreveu:EFE/59 - Três retas concorrem no ponto M( - 2, 3 ). Uma dessas retas é paralela ao eixo do x, outra passa pelo ponto ( 2, 1 ) e a terceira passa pela origem. Calcule o coeficiente angular de uma reta que corta as três retas dadas nos pontos A, B e C respectivamente, de modo que MB seja mediana do triângulo MAC.

R: m = 3/2

Olá, José Carlos, tudo bem?
Não entendi bem onde ficam os pontos A, B e C. Ajude-me.
Um abraço.

Olá soudapaz,

Estou bem, obrigado.
Fiz este desenho que espero possa ajudar. Não está bem feito mas é esta a minha interpretação da questão.



Um grande abraço.

Jose Carlos escreveu:Olá soudapaz,

Estou bem, obrigado.
Fiz este desenho que espero possa ajudar. Não está bem feito mas é esta a minha interpretação da questão.



Um grande abraço.

Olá, José Carlos.

Após n tantativas por caminhos errados e hum milhão de contas que a nada levaram, caiu a ficha e percebi que a solução deste exercício é das mais triviais. Veja:

É óbvio que o triângulo MAC é equilátero e, como tal, sua mediana MB é perpendicular à reta procurada. Logo, basta encontrar a equação da reta que passa pelos ponto (-2, 3) e (2,1) e calcular seu coeficiente angular, que é a recíproca negativa da inclinação da reta procurada.

A equação da reta que passa (-2,3) e (2,1) é:

(y - 3)/(x + 2) = (3 -1)/(-2 -1)
---->
(y - 3)/(x + 2) = 2/(-3)
---->
- 3(y - 3) = 2(x + 2)
---->
- 3y + 9 = 2x + 4
---->
2x + 4 + 3y - 9 = 0
---->
2x + 3y - 5 = 0

m, coeficiente angular dessa reta, é:

- a/b = -2/3

Logo, mr, coeficiente angular da reta procurada, é a recíproca negativa de - 2/3, ou seja:

- 2/3 = - 1/mr
---->
mr = -1/(- 2/3)
---->
mr = 3/2--->resposta.


Um abraço.

Olá soudapaz e jota-r,

Meus agradecimentos aos amigos pela atenção e empenho na resolução da questão.

Um grande abraçõ.

Olá Jota-R,
Já faz algum tempo, heim. Hoje é sábado e não pretendo ser o tal copo-de-leite (aquele que corta o barato) mas pergunto: por que "é óbvio que o triângulo MAC é equilátero"? Pois para mim não é óbvio. Para ser equilátero, todos os ângulos devem ser de 60º.
MC passa pela origem O(0,0) e por M(-2,3);
MA é paralela a Ox, logo passa por M e por (0,3);
tg(^M) = 3/2 -----> ^M < 60º !!!!!

obs: por esta dúvida, não terminei de ler sua resolução.

Um abraço.

Medeiros escreveu:Olá Jota-R,
Já faz algum tempo, heim. Hoje é sábado e não pretendo ser o tal copo-de-leite (aquele que corta o barato) mas pergunto: por que "é óbvio que o triângulo MAC é equilátero"? Pois para mim não é óbvio. Para ser equilátero, todos os ângulos devem ser de 60º.
MC passa pela origem O(0,0) e por M(-2,3);
MA é paralela a Ox, logo passa por M e por (0,3);
tg(^M) = 3/2 -----> ^M < 60º !!!!!

obs: por esta dúvida, não terminei de ler sua resolução.

Um abraço.

Medeiros escreveu:Olá Jota-R,
Já faz algum tempo, heim. Hoje é sábado e não pretendo ser o tal copo-de-leite (aquele que corta o barato) mas pergunto: por que "é óbvio que o triângulo MAC é equilátero"? Pois para mim não é óbvio. Para ser equilátero, todos os ângulos devem ser de 60º.
MC passa pela origem O(0,0) e por M(-2,3);
MA é paralela a Ox, logo passa por M e por (0,3);
tg(^M) = 3/2 -----> ^M < 60º !!!!!

obs: por esta dúvida, não terminei de ler sua resolução.

Um abraço.

Olá, Medeiros.

De fato, já fazia um tempo que não nos encontrávamos.

Quanto à sua ponderação, você tem razão.

Eu, talvez na euforia de ter encontrado o caminho para solução do exercício, afirmei precipitadamente que o triângulo MAC é equilátero, quando na verdade queria dizer que ele é isósceles, pois é evidente que MA = MC. Com isso, MB, além de mediana do triângulo, é também a altura relativa ao lado AC, o que assegura que MB é perpendicular à reta que contém o segmento AC.

Espero ter-lhe convencido a ver minha resolução.

E você, chegou a tentar?

Um abração.

Olá Jota-R,

Esqueci de comentar antes: notei que você tem se especializado em matemática financeira -- está indo muitíssimo bem. Quanto a esta questão, sim, li a resposta inteira após o seu convite. E, não, não tinha ainda tentado resolver mas fiz uma tentativa agora.
Você fez um engano na equação da reta MB (correção em vermelho):
(y - 3)/(x + 2) = (3 -1)/(-2 -2). Não fosse isso, você teria visto não ser perpendicular.
O correto é x+2y-4=0 e a declividade é –1/2. Assim, o triângulo MAC não é isósceles e a reta ABC não é perpendicular à reta MB. Dê uma olhada no desenho que fiz, está em verdadeira grandeza.



Um grande abraço.

Medeiros escreveu:Olá Jota-R,

Esqueci de comentar antes: notei que você tem se especializado em matemática financeira -- está indo muitíssimo bem. Quanto a esta questão, sim, li a resposta inteira após o seu convite. E, não, não tinha ainda tentado resolver mas fiz uma tentativa agora.
Você fez um engano na equação da reta MB (correção em vermelho):
(y - 3)/(x + 2) = (3 -1)/(-2 -2). Não fosse isso, você teria visto não ser perpendicular.
O correto é x+2y-4=0 e a declividade é –1/2. Assim, o triângulo MAC não é isósceles e a reta ABC não é perpendicular à reta MB. Dê uma olhada no desenho que fiz, está em verdadeira grandeza.



Um grande abraço.

Olá, Medeiros.

Você tem razão. Obrigado pela correção.

É impressionante como uma simples inversão de sinal é capital na solução de um exercício.

Quanto à matemática financeira, estou dando um tempo para pequenas incursões em outras áreas.


Um abraço.

Olá pessoal,

Faz-se necessário que eu torne a agradecer a atenção de todos.


Um grande abraço.